Homogene Funktion ableiten.

Question

Ich habe eine Funktion f,die differnzierbar ist und für die gilt:
f(tx) = t^a *f(x)

Jetzt soll ich zeigen, dass gilt:

df(tx) = t^{a-1} * df(x)

Diese Gleichheit gilt nicht oder?
(f(tx) )'= (t^a *f(x))'

Sonst wäre die Ableitung einfach:
t^a * df(x)

Ableiten nach t ergibt den Eulerschen Satz, hilft mir (soweit ich sehe aber nicht weiter).


Kann mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

Oh man. Häufig krieg ich genau beim Fragestellen die Lösung hin:

Weil ich es hier noch nicht gefunden habe, poste ich es mal, falls jemand anderes mal danach sucht:

Es gilt:

d/dx f(tx) = d/dx(t^a *f(x)) = t^a * df(x)

Außerdem gilt(Kettenregeln):

d/dx f(tx) = df(tx) * t

Gleichstzen ergibt:

t^a * df(x) )=  df(tx) * t   | : t

t^{a-1} df(x) = df(tx)

Und damit haben wir die Aussage.