Z-Transformation, Verständnis zur gegebenen Lösung.

Question

Da ich jetzt mit Faltung, Fourier und Laplace fertig bin habe ich mir die Z-Transformation vorgenommen.

Dazu  soll ich die Z-Transformiert des Signals x[n] = cos(w₀ n) u[n] berechnen (u[n] ist der Einheitsimpuls denke ich ).

 $$ x[n]=\quad (\frac { { e }^{ j{ w }_{ 0 }n }+{ e }^{ -j{ w }_{ 0 }n } }{ 2 } )\quad u[n]\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } { e }^{ j{ w }_{ 0 }n }u[n]\quad +\quad \frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -j{ w }_{ 0 }n }\quad u[n]\quad \\ =>\quad X(z)\quad =\quad \frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { e }^{ j{ w }_{ 0 }n }{ z }^{ -n } } \quad +\quad \frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { e }^{ -j{ w }_{ 0 }n }{ z }^{ -n } } \\ =\frac { 1 }{ 2 } \quad \frac { 1 }{ 1-{ e }^{ j{ w }_{ 0 }n\quad  }{ z }^{ -1 } } \quad +\quad \quad \frac { 1 }{ 2 } \quad \frac { 1 }{ 1-{ e }^{ -j{ w }_{ 0 }n\quad  }{ z }^{ -1 } } \\ \\ =\frac { 1-{ z }^{ -1 }cos({ w }_{ 0 }) }{ 1-2{ z }^{ -1 }cow({ w }_{ 0 })+{ z }^{ -2 } }  $$

Nach etwas rechnen habe ich wieder auf die Lösung geschaut und verstehe wieder einiges nicht...

Wieso verschwindet beim Einfügen in die Formel (2. Zeile) das "u[n] ? Hat das was mit der unteren Grenze des Summenzeichens zu tun? Bei einer anderen Aufgabe ist "u[-n-1] enthalten. Dort läuft das Summenzeichen dann von -unendlich bis -1.

Wie wurden die beiden Summenzeichen umgeformt (2. auf 3. Zeile)?

Von der vorletzten auf die letzte Zeile ist mir auch Schleierhaft.

Wäre nett wenn mir jemand erklären könnte was da gemacht wurde.

Danke und Gruß,

Mahir Sari

Answer 1

Hi, ich denke \( u[n] \) ist der Einheitssprung, also \( u[n] = \begin{cases} 0, \quad n < 0 \\ 1, \quad n \ge 0 \end{cases} \)
Damit gilt für die Z-Transformierte
$$ X(z) = \frac{1}{2} \sum_{k=-\infty}^\infty e^{j \omega_0 n} u(n) z^{-n} + \sum_{k=-\infty}^\infty e^{-j \omega_0 n} u(n) z^{-n} = $$
$$ \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty e^{j \omega_0 n} z^{-n} + \sum_{k=0}^\infty e^{-j \omega_0 n} z^{-n} = \frac{1}{2} \frac{1}{1-e^{j\omega_0}z^{-1}} + \frac{1}{2} \frac{1}{1-e^{-j\omega_0}z^{-1}} $$ (hier wird die Summenformel der Geometrischen Reihe benutzt)
Jetzt das ganze auf mit dem Hauptnenner multiplizieren und vereinfachen, dabei an die Eulersche Formel denken \( e^{i\omega} + e^{-i\omega} = 2 \cos(\omega) \)

Comments

Also der Übergang von der vorletzten auf die letzte Zeile ist mir jetzt klar, danke :)
Aber mit dem geometrischen Summenformel komme ich davor nicht weiter.Könntest du mir bitte nochmal zeigen wie genau das da gemacht wurde? 
Gruß,DunKing

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Gerade ist mir zumindest die Bestimmung des Nenners der geom. Reihe klar geworden.

Man umklammert das ganze Ding in der Summe und kann dann die Klammer hoch n setzen. Somit ergib sich als nenner (1-q) = 1-e^jw _Z^{-1 )}

Der Nenner sollte doch aber auch 1- dem q hoch n+1 lauten?

PS: vom Ipad aus habe ich etwas Probleme was die Formatiereung ds Textes :)

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Hi, ich mach das mal an dem Beispiel klar

$$  \sum_{n=0}^\infty e^{j \omega_0 n} z^{-n}  = \sum_{n=0}^\infty [ e^{j \omega_0} z^{-1} ]^n = \frac{1}{1-e^{j \omega_0} z^{-1}}   $$ Das gilt, wenn \( | e^{j \omega_0} z^{-1} | = |z^{-1} | < 1  \) gilt.