Hi,
zu (1) kann ich was sagen
Du betrachtest die Zufallsvariable \( Z(\alpha,\beta) = \alpha X + \beta Y \) und wählst die Koeffizienten so, dass die Varianz von \( Z \) minimal wird.
Dann bekommst Du folgende Gleichungen
$$ (1) \quad \text{Var(Z)}(\alpha,\beta) = \alpha^2 \text{Var(X)} + 2 \alpha \beta \text{Cov(X,Y)} + \beta^2 \text{Var(Y)} $$ und es muss gelten \( \alpha + \beta = 1 \)
Damit hast Du das klassische Minimierungsproblem unter Nebenbedingungen. Die Lösungen lauten
$$ (1) \quad \alpha = \frac{ \text{Var(Y)}-\text{Cov}(X,Y) }{\text{Var}(X) - 2 \text{Cov}(X,Y) + \text{Var}(Y) } $$ und
$$ (2) \quad \beta= \frac{ \text{Var(X)}-\text{Cov}(X,Y) }{\text{Var}(X) - 2 \text{Cov}(X,Y) + \text{Var}(Y) } $$
Jetzt die Werte einsetzten und dann hast Du die optimale Mischung.
