Diskriminante der pq und abc - Formel Unterschiede?

Question

die Diskriminanten der beiden Formeln haben verschiedene Lösungen. Woher weiss man welche Diskriminante man benutzen soll? Entschuldigung für diese Frage, aber ich finde auch im Internet nichts dazu.

Ich habe zB. eine Funktion mit einem Parameter

f(x) = 3x² + 4x + a-10

Abc Formel: 4² - 4* 3* (a-10), pq Formel: (4/3/2)² - (a-10)

Möchte ich nun die Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von a bestimmen indem ich die Diskriminante ausrechne kommen ja für beide Formel unterschiedliche a raus.

Answer 1

4² - 4* 3* (a-10) = 0 gibt  34/3 = a

(2/3)^2 - ( a-10)/3  = 0   gibt das gleiche. 

Du hast die "Drittel" unter a-10 vergessen.

Answer 2

\(f(x) = 3x^2 + 4x + a-10\)

\(3x^2 + 4x + a-10=0\)

Lösungen ohne pq und abc - Formel:

\(3x^2 + 4x =10-a|:3\)

\(x^2 + \frac{4}{3}x =\frac{10-a}{3}\)

\(x^2 + \frac{4}{3}x +(\frac{2}{3})^2=\frac{10-a}{3}+(\frac{2}{3})^2\)

\((x +\frac{2}{3})^2=\frac{34-3a}{9}  |±\sqrt{~~}\)

1.)
\(x +\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\sqrt{34-3a}\)
\(x_1 =-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{34-3a}\)
2.)
\(x +\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}\sqrt{34-3a}\)
\(x_2 =-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\sqrt{34-3a}\)
Diskriminante (D):
1.Fall: \(D>0\)
\(34-3a>0|+3a\)
\(34>3a\)→  \(3a<34\)   → \(a<\frac{34}{3}\)  2 Lösungen
2.Fall: \(D=0\)
\(34-3a=0\)
\(a=\frac{34}{3}\) 1 Lösung
3.Fall: \(D<0\)   keine Lösung in ℝ

Comments

Die ursprünglich gestellte Frage wird damit mal wieder vollkommen ignoriert...

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Die ursprünglich gestellte Frage wird damit mal wieder vollkommen ignoriert...

Die habe ich ignoriert, weil 1.mathef das schon für alpi erklärt hat und weil  ich 2. sehr wenig von der pq und abc Formel halte. Darum habe ich nur dargelegt, wie ich die Nullstellen für \(f(x) = 3x^2 + 4x + a-10\)  finde.

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Also pure Selbstdarstellung.

Fraglich, warum man nichts von der pq-Formel hält. Sie ist nämlich das direkte Resultat der quadratischen Ergänzung, bei der ich mir sämtliche Zwischenschritte spare. ;)

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Meinst du nicht auch, dass du langsam die Grenze zur Übergriffigkeit überschreitest?

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@moliets

Ich halte auch nichts von der pq- und abc-Formel. Ich finde z.B. Differentialgleichungen viel interessanter, daher poste ich hier mal ein Lösungsbeispiel... achne, dafür ist mir die Zeit zu schade und es ist hier auch nicht gefragt. (Ja, dabei braucht man auch die pq-Formel, oder eben lieber quadr. Ergänzung (die man für andere Zwecke ohnehin kennen sollte)).

Answer 3

Die Diskriminanten der Formeln lauten

Für die abc-Formel

D = b^2 - 4·a·c

Für die pq-Formel mit p = b/a und q = c/a

D = (p/2)^2 - q = ((b/a)/2)^2 - (c/a) = (b^2 - 4·a·c)/(4·a^2)

Man sieht die Diskriminanten unterscheiden sich nur durch den positiven Faktor 4·a^2. Dadurch bleiben natürlich die Nullstellen und auch positive und negative Diskriminanten erhalten.