Brechnen Sie für dieses t den Lösungsraum L(A, b)

Question

Gegegn sie die Matrix A=( $$  \begin{matrix} 2 & 1 & 4 & 5 \\ -4 & -2 & -5 & -4 \\ 6 & 3 & 7 & 5 \end{matrix}   $$ ) mit dem Vektor b= $$ \begin{pmatrix} -14 \\ 4 \\ t \end{pmatrix} $$

a) Für welches t ist die Lösungsmenge L(A,b) nicht leer?

Antwort t= -2

b) Brechnen Sie für dieses t Zahlen u,v ∈R, so dass x0 = $$ \begin{pmatrix} u \\ 0 \\ 0 \\ v \end{pmatrix} $$

Antwort u=3, v=-4

c) Berechnen Sie für dieses t den Lösungsraum L(A,b)

Mein Vorgehen bisher:

2x₁+x₂+4x₃+5x₄=0 und 3x₃+6x₄=0 -> x₃=-2x₄

x₁=1/2*(-x₂+3x₄)

Jetzt weiß ich ehrlich gesagt nicht weiter....

Answer 1

Hallo Sven,

Ausgangsmatrix des LGS:

⎡  2   1   4   5  -14 ⎤

⎢ -4  -2  -5  -4   4  ⎥

⎣  6   3   7    5     t  ⎦

Gauß - Algorithmus:

1. Spalte

⎡ 2  1   4    5       -14   ⎤

⎢ 0  0   1     2       -8   ⎥     (2 • I  +  II) : 3

⎣ 0  0  -5  -10    t + 42 ⎦    -3 • I + III

3. Spalte

⎡ 2  1  4  5   -14  ⎤

⎢ 0  0  3  6   -24  ⎥

⎣ 0  0  0  0    t+2 ⎦    5 • II  + III

a)  Das LGS hat also nur für t = -2 Lösungen

c)

Auswertung der Gleichungszeilen von unten nach oben:

⎡ 2  1  4  5   -14  ⎤    →   x₁  = 9 - 1/2·x₂ + 3/2·x₄

⎢ 0  0  3  6   -24  ⎥   →    x₂ beliebig wählbar und   x₃ =  - 8 - 2x₄

⎣ 0  0  0  0     0   ⎦    →   x₄  beliebig wählbar

Lösungsraum =  { ( 9 - 1/2·x₂ + 3/2·x₄  ,  x₂ ,   - 8 - 2x₄  ,  x₄ )^T ∈ ℝ⁴ |  x₂ , x₄ ∈ ℝ }

b) 

mit  x₁ = u ,  x₂ = x₃ = 0  und  x₄ = v  ergibt sich

 9 + 3/2·v = u   und   - 8 - 2v = 0

→  v= - 4  und u = 3 

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für das ausführliche schreiben.... Mit a und b hatte ich keine Probleme... konnte ich so auch lösen...

Nur c) stellt für mich bisher große Fragen... Laut Musterlösung muss ich nachher auf:

$$ L (A,\xrightarrow { b } )\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+\Re \begin{pmatrix} -1/2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\Re \begin{pmatrix} \frac { 3 }{ 2 }  \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Das der erste Teil (3/0/0/4) aus Aufgabenteil b) stammt ist mir klar.... dass jeweils der obere Wert(-1/2 und 3/2) sich aus dem oben oben brechnenden wieder spiegelt auch. Nur wie ich auf den Rest komme ist mir eher unklar

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Der Lösungsraum ist - wie bei einer Ebene - als Parameterform gegeben, die keine eindeutige Darstellung hat.

Vorn kann ein beliebiger spezieller Lösungsvektor stehen, hinten zwei beliebige Basisvektoren.

Welche Vektoren sich beim Lösen ergeben, hängt vom Lösungsweg ab.

Ohne die komplette Musterlösung kann ich deshalb nicht nachvollziehen, wie man dort auf die angegebene Lösung kommt.

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Ich habe mal nen Screenshot vom entsprechenden Aufgabenteil gemacht:

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Wenn man davon ausgeht, dass man die Lösung spezielle Lösung (3, 0, 0 , -4) bereits hat - was in der Frage nicht so klar war-, muss man nur noch die allgemeine Lösung des homogenen System (hier N_A genannt) bestimmen. Die Summe aus beiden ergibt dann die allgemeine Lösung das inhomogenen Systems:

wie in der Antwort ergibt sich:

⎡ 2  1  4  5  0 ⎤

⎢ 0  0  3  6  0 ⎥

⎣ 0  0  0  0  0 ⎦

→  

3. Zeile:  3x₃ = - 6x₄  →  x₃ = -2x₄

1. Zeile:  2x₁ = -x₂ + 8x₄ - 5x₄  →  x₁ = -1/2 x₂ + 3/2 x₄

N_A = { \(\begin{pmatrix} -1/2 x_2 + 3/2 x_4 \\ x_2\\ -2x_4\\ x_4 \end{pmatrix}\) |  x₂ , x₄  ∈ ℝ }

= { x₂ •  \(\begin{pmatrix} -1/2 \\ 1 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\) + x₄ • \(\begin{pmatrix} 3/2 \\ 0 \\ -2\\ 1\end{pmatrix}\) |   x₂ , x₄  ∈ ℝ }

Wenn du jetzt die spezielle Lösung des inhomogenen Systems addierst, hast du die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems.