Wie kommt man auf dieses lokale Maximum? f(x,y)=xy*e^{-x-y}

Question

Gegeben ist folgende Funktion: f(x,y)=xy*e^-x-y

Ich habe nun den Gradienten der Funktion berechnet und Null gesetzt. Hierbei komme ich zu den Gleichungen

I) y-xy= 0

II) x-xy=0

Wenn ich diese auflöse komme ich auf die Koordinate (0,0). 

In der Lösung steht aber noch als weitere Koordinate (1,1). Wie komme ich auf diese?

Answer 1

(0|0) ist eher die Minimal- als die Maximalstelle. 

I) y-xy= 0.  

y *(x-1) = 0   stimmt für y = 0 ODER für x = 1

II) x-xy=0

x ( 1-y) = 0 stimmt für x = 0 ODER für y = 1.

Nun kannst du kombinieren und dann weiterschauen.

Also (0,0) , (1,1).

Nur mit (1,1) besteht die Möglichkeit, dass als Funktionswert etwas rauskommt, das nicht 0 ist. 

Answer 2

f(x,y)=xy*e^-x-y 

^{die partiellen Ableitungen sind:}

f_x = y·e^-x-y ·(1 - x)  = 0   →  x = 1 oder y = 0

f_y = x·e^-x-y ·(1 - y)  = 0   →  y = 1 oder x = 0

die kritischen Punkte sind also  (1|1) und (0|0) 

jetzt kannst du wie folgt vorgehen:

für jeden der 2 erhaltenen stationären(kritisichen) Punkte prüfst du mit Hilfe der 2. partiellen Ableitungen durch Einsetzen:

f_xx • f_yy - f_xy²    > 0 → Extrempunkt 

                         < 0  → Sattelpunkt

                         = 0     erfordert weitere Betrachtung

im Fall "Extremum" weiter:

fxx  < 0  →  Hochpunkt 

       > 0  →  Tiefpunkt

       = 0   kann nicht vorkommen

Gruß Wolfgang