beweise eindeutig bestimmtes Polynom 3.Grades mit P(a)=a P'(a)=β, P(b)=y, P'(b)=σ

Question

Es sind zwei Punkte und die Werte der Ableitung an diesen Punkten gegeben. Es soll gezeigt werden dass das zugehörige Polynom 3.Grades. eindeutig bestimmt ist.

Ein zugehöriges LGS mit Gauß zu lösen übersteigt meine Fähigkeiten.

Also muss gezeigt werden, dass die Determinante der Koeffizientenmatrix nicht 0 ist.  Ich dachte man könnte

a^3      a^2    a    1

3a^2  2a       1     0 

b^3      b^2    b    1

3b^2   2b      1     0 

durch Spalten und Zeilenoperationen in eine Van-der-Monde Matrix überführen. Geht das?

Answer 1

Entwickeln nach der letzten Spalte gibt die Summe :

-1 *  

3a²  2a       1   

b³      b²    b   

3b²   2b      1   

plus

-1 *

a³      a²    a   

3a²  2a       1    

3b²   2b      1   

Und die 3er gehen ja z.B. mit Sarrus oder so

= (3a^2 b^2 - 4ab^3 + b^4)   +  ( a^4 - 4a^3 + 3a^2 b^2 ) 

= (6a^2 b^2  - 4ab^3 + b^4)   +  ( a^4 - 4a^3 ) 

= ( a-b) ^4

Und für a ungleich b ist das nicht 0.