Frage zur Integrationsregel f(x)´/ f(x) dx = ln(x) + C

Question

ich habe eine Frage zur obigen Regel.

Bei der ersten Aufgabe habe ich das Integral mit einem minus vor und hinter dem Integral angepasst, damit ich - sinx erhalte und ich die Regel anwenden kann. DAs ist doch soweit richtig?

Jetzt habe ich mich gefragt ob ich das auch so machen darf wie bei der 2. Aufgabe.

Kann man das so machen? ISt  das falsch? wenn ja warum?

danke!

Comments

ich möchte noch eine weitere Frage zur selbigen REgel stellen.

Die Lösung von Wolfram alpha zur nachfolgenden Aufgabe verwirrt mich.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+2x+%2F+x%5E2

warum steht im log(x) und nicht (x^2)

Ich dachte es wäre immer der Nenner der als Argument in den log überführt wird.

so wie hier zum Beispiel:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+2x+%2F+(x%5E2+%2B+1)

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Die zweite Frage hat sich soeben  geklärt.

da steht ja noch eine 2 vor dem logx

Answer 1

Es gilt nicht dass

$$\frac{1}{x^2+1}=\frac{2x \cdot 2x}{ x^2+1}$$

Es ist bekannt dass

$$\int \frac{1}{x^2+1} dx=arctan x+c$$