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Ich suche eine Funktion, die das folgende beschreibt:

Besucher von Events wurden zu ihrer Anfahrt zum Event befragt.

Bei der repräsentativen Befragung ergibt sich, dass die Besucher im Durchschnitt 11,6km zu den Events gefahren sind. Es kommen zwar auch vereinzelt Besucher aus 100km Entfernung, aber ab 24,7km sind keine signifikanten Besucheranzahlen zu verzeichnen.

Damit soll eine Marktkapazität abgeschätzt werden. Gesucht ist also eine Funktion vom Radius, die in Abhängigkeit von der Entfernung beschreibt, welcher “Anteil Besucher“ erwartet werden kann (dazu ist das Ergebnis mit den Einwohnern dieser Entfernung zu multiplizieren); also für x km Entfernung sind y von Hundert möglichen Besuchern anzurechnen.

Ich gehe davon aus, dass es sich um eine “horizontal gespiegelte“ sigmoidale Funktion handelt (g(x) = 1-f(x)), die dann bei der Entfernung 0 km, also g(0) den Wert 1 hat, diesen bis z.B. 5 km praktisch beibehält und dann exponentiell bis ca. 25 abfällt.

Dabei gibt es dann die Randbedingungen, dass für s(0,n) = {∑[ i = 0...n](g(i)·i)}/n = 11,6km mit n ∈ ℕ+ und n → ∞ gilt.

Außerdem sollte g(24,7km) ≤ 0,01 sein (ungefähr). Und wenn g(x) eine Normalcerteilung ist, so sollte ∫[i=0...n](f(i)) = 1 sein für n ∈ ℕ+ und n → ∞.

Mir ist klar, dass es vermutlich nicht eine einzelne Funktion, sondern eine Funktionsschar ist, die diese Anforderungen erfüllt.

Mir geht es darum, ob man dass prinzipiell so rechnen kann und wie eine konkrete mögliche Lösung dafür aussieht. Es muss auch nicht die definitive, einzig wahre Lösung sein. Es muss damit nur eine Abschätzung möglich sein.

Wenn ich etwas falsch sehe, bin ich offen für jede Kritik? Am allermeisten interessiert mich, gibt es eine (mögliche) Lösung?


Danke,

Jens

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1 Antwort

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Hi,
ich hätte die Funktion $$ 1 - F(x,\mu,\sigma)  $$ mit \( F(x,\mu,\sigma) \) ist die Normalverteilungsfunktion, genommen. Sie entspricht dem Typ den Du suchst. Bei \( r = 0 \) muss die Funktion ja auch nicht \( 1 \) sein, denn es kommen ja nicht alle bei Entfernung \( 0 \text{ km} \)
Die beiden freien Paramter kann man bestimmen durch \( \mu \) ist der Durchschnitt und die Differenz zwischen 24.7 und 11.6 kann als 2 bzw. 3-Sigma Wert interpretiert werden.

Dann sieht das so aus

Bild Mathematik

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ja, das ist schon eine Möglichkeit.

Da es sich aber um eine Marktkapazität handelt, bei der die zu berücksichtigenden Anteile mit steigender Entfernung geringer werden, passt es IMHO nicht ganz (man korrigiere mich bitte): Bei 0 muss der Wert 1 sein.

Mir fehlt dabei aber auch ein Long-Tail gegen unendlich, bei dem dann ja kontinuierlich quasi die letzten 1% oder 2% auf die Strecke bis 100 und mehr km Entfernung verteilt werden müssten.


Noch eine Frage: Wenn der Durchschnitt 11,7 km zurück gelegt hat und der Anteil bei einer kleineren Entfernung höher liegt (bis 1 bei 0, aber auch bei 1 und 2 und 3 km), müsste dann nicht bei 11,7km bereits ein höherer, summierter Anteil vorliegen?


Mein Versuch war:

F(x;µ;s)=1-1/(1+e^{(x-µ)/s})


Danke für Deine Rückmeldung!


Jens

Hi,

bei Deiner Funktion gilt aber auch nicht \( 1 - F(0,\mu,\sigma) = 1 \) sondern \( 1 - F(0,\mu,\sigma) = \frac{1}{1+e^{ -\frac{\mu}{\sigma} }}  \) und das ist eigentlich immer \( \ne \) Null, oder sehe ich das falsch?

Mit geeigneter Parametrisierung (z.B. einem gesetzten "Offset") ergibt sich ein G(0) von 0,000223639, also F(0) = 0,999776361.

Das ist für mich zwar hinreichend nah an 1 dran, aber genau weil ich das Ergebnis nicht vollauf befriedigend finde, bin ich ja hier ;-)

Also wenn Du/ein Forumsteilnehmer etwas besseres weisst oder Du/ein Forumsteilnehmer zum Beispiel schon einmal so etwas wie einen "gewichteten" Markanteil auf der Basis einer Entfernung berechnet hat, z.B. mit einer "generalised logistic function" berechnet hat bin ich sehr offen für Vorschläge.

Vielleicht ist das ja auch der falsche Weg und man rechnet das ganz anders. Kann ich gar nicht ausschließen, ich bin in der Beziehung leider kein Experte und auf diese Art der Berechnung gekommen.

Danke Dir/jedem von Euch für eine Rückmeldung!
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