Welche der Mengen sind abgeschlossen? M = {(x,y)€R^2 | x^2 + x + 1 < 0 oder x+y=2}

Question

Hallo !

Kann jemand bei dieser Aufgabe helfen ?

(a) Welche der folgenden Mengen sind abgeschlossen:
$$ i. M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | x^{2}+x+1<0 \text { oder } x+y=2\right\} $$
ii. \( M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | x y>0\right\} \)

(b) Geben Sie in den Fällen, in denen \( M \) nicht abgeschlossen ist, einen Berührpunkt von \( M \) an, der nicht in \( M \) liegt. 

Comments

(ii) a) und b) vgl. hier: https://www.mathelounge.de/368354/xy-0-abgeschlossen-falls-nicht-beruhrung-angeben

Du brauchst gemäss Fragestellung nichts zu beweisen. 

Answer 1

M = {(x,y)€R^2 | x^2 + x + 1 < 0 oder x+y=2}

x^2 + x + 1 < 0 

Hat keine reelle Lösung, da der Graph von f(x) = x^2 + x + 1 nach oben geöffnet ist und der Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse liegt, gilt x^2 + x + 1 > 0 für alle reellen x. (Kontrolle mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2+%2B+x+%2B+1%3D0 )

Also ist gilt

M = {(x,y)€R^2 | x^2 + x + 1 < 0 oder x+y=2} =  {(x,y)€R^2 | x+y=2}

Das ist die Menge der Punkte auf der Geraden mit der Gleichung y = 2 - x. Somit reduziert sich die Frage darauf, ob die Menge der Punkte einer Geraden in der Ebene abgeschlossen ist und ob eine solche Gerade einen Berührpunkt hat. 

Nun könnte es sein, dass du eine spezifische Definition von Abgeschlossenheit verwenden musst. Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Abgeschlossene_Menge#Euklidischer_Raum mit deinen Unterlagen.

Das Komplement von M ist ja R x R ohne die erwähnte Gerade. Zu jedem Punkt in diesem Komplement gibt es einen weiteren, der nicht in M liegt und doch noch näher an M liegt. 

Begründung konstruktiv: Lot auf M fällen und Abstand halbieren. Das kannst du immer wieder tun. So bekommst du eine Folge, die ganz im Komplement von M liegt und gegen einen Punkt auf M konvergiert. ==> M ist abgeschlossen. 

Konsequenz: Da es zu jedem Punkt P in M ein Lot gibt. Kann man zu jedem Punkt P auf M ein Folge ganz im Komplement von M finden, die gegen P konvergiert. ==> Ganz M besteht aus Berührpunkten. Ein Beispiel für einen Berührpuknt ist B(0|2). 

Answer 2

(ii)

Die Elemente der Menge sind die Punkte im 1. und 3. Quadranten des Koordinatensystems (ohne Achsen). 

Die Menge ist offen, weil es für jeden Punkt eine Umgebung U mit U⊂M gibt.

Die Punkte der Achsen sind Berührpunkte, weil jede punktierte Umgebung eines ihrer Punkte sowohl Punkte aus M als auch Punkte aus ℝ² \ M enthält.

Gruß Wolfgang