T bildet den Raum C[0,1] auf sich selbst ab , und hat eindeutigen Fixpunkt

Question

Für \( f \in \mathcal{C}[0,1] \) sei \( T(f):[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) wie folgt definiert:

\( T(f)(x):=\frac{1}{3} f(x / 3)+\frac{1}{4} \int \limits_{0}^{x} \sin (f(t)) \mathrm{d} t, \quad x \in[0,1] \)

Zeigen Sie:

(i) \( T \) bildet den Raum \( \mathcal{C}[0,1] \) auf sich selbst ab.

(ii) \( T \) hat einen eindeutigen Fixpunkt in \( \mathcal{C}[0,1] \) (den Sie nicht konkret angeben müssen).

Comments

Hi, wie ist bei Euch der Raum \( \mathcal{C}[0,1]  \) definiert. Als Raum der stetigen Abbildungen von \( [0,1] \to [0,1] \) oder als Raum der stetigen Abbildungen von \( [0,1] \to \mathbb{R} \)?

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Hi,

wenn \( f \in \mathcal{C^1}[0,1] \) wäre, ist das ganze kein Problem zu beweisen.

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dieser Raum ist so definiert, also von [0,1] --> [0,1]. Ich denke, dass das auch nicht so schwer sein sollte, jedoch bekomme ich es nicht hin.

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S.saar2016. Du hast die Definition von C_(R)[0,1]  hier nachgereicht (?)

https://www.mathelounge.de/368562/hat-t-einen-fixpunkt-t-gegeben-durch-ein-integral

Vielleicht wird das fehlende R als genug Information angesehen, dass es

von [0,1] auf [0,1] gehen soll. (?)

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das andere ist eine andere Aufgabe, jedoch selbes Themengebiet. Ja der Raum geht von [0,1] auf [0,1] wie oben im Kommentar schon geschrieben.

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Hi,

also in dem Link steht ganz klar \( f \)  ist eine Funktion von \( [0,1] \to \mathbb{R} \) und nicht nach \( [0,1] \) demnach gehe ich davon aus, dass das bei der anderen Aufgabe auch so ist.

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ok, könnte man mir trotzdem bitte helfen?

Ich würde die Aufgabe gerne lösen können.

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ja klar, ich versuchsmal, aber so schnell ist mir bislang nichts eingefallen aber ich mach weiter. Vielleicht sagts Du noch, wie die Norm definiert ist, die Ihr verwendet für den Raum \( \mathcal{C}[0,1] \)

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Wir haben hier die Supremumsnorm definiert.

Answer 1

Hi
$$ \| T(f) - T(g) \|_\infty \le \frac{1}{3} \| f(x/3) - g(x/3) \|_\infty + \frac{1}{4} \int_0^x \| \sin(f(t))- \sin(g(t))  \|_\infty  dt \le $$
$$ \frac{1}{3} \| f(x/3) - g(x/3) \|_\infty + \frac{1}{4} \| f - g \|_\infty \le \frac{1}{3} \| f - g  \|_\infty  $$
Also existiert ein Festpunkt mit der Eigenschaft
$$ f(x) = \frac{1}{3} f(x/3) + \frac{1}{4} \int_0^x \sin(f(t)) dt  $$