T bildet den Raum C[0,1] auf sich selbst ab , und hat eindeutigen Fixpunkt

Question

Für $f \in \mathcal{C}[0,1]$ sei $T(f):[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ wie folgt definiert:

$T(f)(x):=\frac{1}{3} f(x / 3)+\frac{1}{4} \int \limits_{0}^{x} \sin (f(t)) \mathrm{d} t, \quad x \in[0,1]$

Zeigen Sie:

(i) $T$ bildet den Raum $\mathcal{C}[0,1]$ auf sich selbst ab.

(ii) $T$ hat einen eindeutigen Fixpunkt in $\mathcal{C}[0,1]$ (den Sie nicht konkret angeben müssen).

Comments

Hi, wie ist bei Euch der Raum $\mathcal{C}[0,1]$ definiert. Als Raum der stetigen Abbildungen von $[0,1] \to [0,1]$ oder als Raum der stetigen Abbildungen von $[0,1] \to \mathbb{R}$?

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Hi,

wenn $f \in \mathcal{C^1}[0,1]$ wäre, ist das ganze kein Problem zu beweisen.

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dieser Raum ist so definiert, also von [0,1] --> [0,1]. Ich denke, dass das auch nicht so schwer sein sollte, jedoch bekomme ich es nicht hin.

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S.saar2016. Du hast die Definition von C_(R)[0,1]  hier nachgereicht (?)

https://www.mathelounge.de/368562/hat-t-einen-fixpunkt-t-gegeben-dur…

Vielleicht wird das fehlende R als genug Information angesehen, dass es

von [0,1] auf [0,1] gehen soll. (?)

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das andere ist eine andere Aufgabe, jedoch selbes Themengebiet. Ja der Raum geht von [0,1] auf [0,1] wie oben im Kommentar schon geschrieben.

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Hi,

also in dem Link steht ganz klar $f$  ist eine Funktion von $[0,1] \to \mathbb{R}$ und nicht nach $[0,1]$ demnach gehe ich davon aus, dass das bei der anderen Aufgabe auch so ist.

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ok, könnte man mir trotzdem bitte helfen?

Ich würde die Aufgabe gerne lösen können.

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ja klar, ich versuchsmal, aber so schnell ist mir bislang nichts eingefallen aber ich mach weiter. Vielleicht sagts Du noch, wie die Norm definiert ist, die Ihr verwendet für den Raum $\mathcal{C}[0,1]$

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Wir haben hier die Supremumsnorm definiert.

Answer 1

Hi
$$\| T(f) - T(g) \|_\infty \le \frac{1}{3} \| f(x/3) - g(x/3) \|_\infty + \frac{1}{4} \int_0^x \| \sin(f(t))- \sin(g(t)) \|_\infty dt \le$$
$$\frac{1}{3} \| f(x/3) - g(x/3) \|_\infty + \frac{1}{4} \| f - g \|_\infty \le \frac{1}{3} \| f - g \|_\infty$$
Also existiert ein Festpunkt mit der Eigenschaft
$$f(x) = \frac{1}{3} f(x/3) + \frac{1}{4} \int_0^x \sin(f(t)) dt$$