Flächenschwerpunkt der Menge D c R^2 mit den Eckpunkten (0,0), (2,0), (0,1).

Question

wie löse ich solch eine Aufgabe?
Was ist das genau für ein Thema eigentlich?
Ich verstehe das Gebilde in der Formelsprache nicht.
Kann mir einer diese Aufgabe erklären?

Comments

"Ich verstehe das Gebilde in der Formelsprache nicht.  "

Das verstehe ich auch nicht. Ich sehe 2 Integrale mit einem dx, die jeweils mit x1 oder x2 gewichtet sind. x1 und x2 sind die Hebel, die ja beim Schwerpunkt zu berücksichtigen sind. Weiter muss da die Masse in der jeweiligen horizontalen Entfernung zur Achse mit dem Hebel multipliziert werden. 

mü(D) ist vermutlich einfach die Fläche des Dreiecks. Sollte aber irgendwo definiert sein. 

Schau mal, wie die das hier machen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrischer_Schwerpunkt#Fl.C3.A4chen

Weiter unten wird noch ein Beispiel vorgerechnet. 

Answer 1

a) 

~plot~ 1-0.5x;x=0;0;{2|0};{0|1};{0|0} ~plot~

1-0.5x;x=0;0;{2|0};{0|1};{0|0}

b) 

A_(Dreieck) = Itegral _(0)^2 (1- 0.5x) dx 

= x - 1/4 x^2 |_(0)^2

= ( 2 - 1/4 * 4) - ( 0 - 1/4 * 0)

= 2 -1 - 0 = 1 . Stimmt. Kannst du auch geometrischer rechnen: Halbes Rechteck . also (2*1)/2 = 1. 

Das wird jetzt wohl das mü(D) sein, durch das am Schluss die Koordinaten des Schwerpunktes zu teilen sind. Ich nenne sie sx und sy. 

c)

sx = 1/ A * Integral_(0)^2 x (1- 0.5x) dx

= 1/A *  Integral_(0)^2  (x- 1/2 x^2) dx

= 1/A ( 0.5x^2 - 1/6 x^3 )|_(0)^2

= 1/A ( (0.5*4  - 1/6 * 8) - 0 )         | A = 1 (vgl. oben)

= (2 - 8/6)

= 6/3 - 4/3  = 2/3

Für sy kann y = 1 - 0.5x nach x aufgelöst werden. Danach rechnet man wie bei sx. 
y = 1 - 0.5x

0.5x = 1 - y
x = 2 - 2y

sy = 1/ A * Integral_(0)^1 y (2-2y) dy

= 1/A *  Integral_(0)^1  2y - 2y^2) dy

= 1/A ( y^2 - 2/3 y^3 )|_(0)^1

= 1/A ( (1 - 2/3 *1 )         | A = 1 (vgl. oben)

= (1-2/3)

= 1/3

insgesamt:

(sx, sy) = ( 2/3 | 1/3)  gemäss der Schreibweise in eurer Formel ist das nun der gesuchte "Vektor" x. 

Zur Kontrolle noch die geometrische Konstruktion des Schwerpunktes mit Hilfe von Schwerlinien.

~plot~ 1-0.5x;x=0;0;{2|0};{0|1};{0|0};{2/3| 1/3};1/2x;1-x;{1|1/2};{1|0} ~plot~

Mehr Info dazu hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Seitenhalbierende 

Comments

Vielen dank, ich werde mir das mal durch den Kopf gehen lassen, und versuchen deine Schritte nachzuvollziehen. Solche Hilfe finde ich echt persönlich viel besser, als dass man Leute quält und ihnen nicht die Lösung zeigt. Es gibt Foren, da wird dir echt nicht geholfen, sondern gequält. Diese Helfer aus Foren sagen, ich will dir nicht die Lösung posten, sonst lernst du nix dabei(bla bla). Aber genau das Gegenteil tritt ein . Wenn er mir unzureichende Hilfe anbietet, dann lerne ich erst recht nichts! Durch deine Lösung, kann ich erst anfangen das zu verstehen, und so kommen AHA Effekte, und so sind wir beide schneller fertig. Sonst würde sich das in die Länge ziehen.

Also, vielen Dank, du weißt, wie man richtig hilft.

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Bitte. Freut mich, wenn dir das oben weiterhilft.

Beachte aber, dass du die Aufgaben immer auch im Zusammenhang mit eurem Kurs ansehen musst. Sonst bringen sie dir nichts in Bezug auf das, was die dir dort beibringen wollen. 

Wenn du z.B. schon in der mehrdimensionalen Analysis bist, solltest du vielleicht noch ausführlicher rechnen und sogar Doppelintegrale aufstellen. Nun hast du oben aber wenigstens mal ein Resultat, mit dem du dann vergleichen kannst.