Von einem Dreieck ABC sind folgende Angaben gegeben.

Question

c=5m α=30° γ=70°

A = 0,5 * g * h

Wie kann ich bei diesem Dreieck die Höhe ausrechnen?

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In welchem Stoffzusammenhang steht denn die Aufgabe? Welche Sätze über die trigonometrischen Funktionen sind bekannt?

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Ich soll den Flächeninhalt berechnen.

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Ja, soweit habe ich die Aufgabe schon verstanden. Eigentlich wollte ich wissen, ob der Sinussatz bekannt ist.

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Jetzt schon :D

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Sehr gut! Der Sinus-Satz ist ein schöner Satz, dessen Nichtberücksichtigung in aktuellen Lehrplänen ich eher bedauerlich finde!

Answer 1

c=5m α=30° γ=70° β = 180° - 70° - 30° = 80° 

A = 0,5 * g * h 

Dann schreibst du deine Skizze geschickt an.

Nun kannst du mit dem Sinussatz erst a ausrechnen.

a / sin(30°) = 5 / sin(70°)

a = 5 * sin(30°) / sin(70°) 

≈ 2.66 cm

Dann gilt im rechtwinkligen Dreieck rechts:  h/ a = sin(Beta)

Also h = a * sin(Beta)

Zum Schluss die Formel, die du kennst benutzen, um A auszurechnen.

A = 0,5 * g * h 

= 0.5 * 5 * a * sin(Beta)

= 0.5 * 5 * (5 * sin(30°) / sin(70°) ) * sin(80°) 

= (12.5 * sin(30°))/(sin(70°)) * sin(80°))  

≈ 6.55

Bitte selber nachrechnen. 

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Kann das vielleicht einer mal kontrollieren?

Für das Schaubild von Lu habe ich für a = 2,66 m

Dann für h = 2,62 m ausgerechnet.

Demnach habe ich für A = 0,5 * 5m * 2,62m = 6,55m²

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Die Grössenordnung stimmt offenbar. 
Wenn du mit meinem gerundeten Wert  2.66 weitergerechnet hast, ist es sehr plausibel, dass die du auf 6.55 kommst. Etwas mehr Stellen sind: a ≈ 2.660444 Du kannst aber einfach das Resultat für a im Speicher ablegen.

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Warum kannst du nicht zugeben, dass du einen Fehler gemacht hast ?

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Haha. Das ist auch möglich. Du kannst es ja selbst nochmals eingeben. ;)

Ich habe das inzwischen getan bei:

https://www.matheretter.de/rechner/sinussatz/

und habe oben die Klammern besser gesetzt.  ;)

Answer 2

Rechne die fehlenden seiten des Dreiecks mit dem sinus-Satz aus.

Answer 3

Für den Fall, dass der Unterricht den Sinus-Satz noch nicht bereitgestellt hat oder gar nicht bereitstellen wird, kann beispielsweise der folgende Ansatz, dessen Herleitung ohne den Sinus-Satz auskommt, benutzt werden:$$ h_c = c \cdot \frac { \tan(\alpha) \cdot \tan(\beta) }{ (\tan(\alpha) + \tan(\beta)) } $$
Zur Herleitung: Skizze anfertigen, Seite \(c\) als Grundseite wählen und die dazu passende Höhe \(h_c\) einzeichnen, die beiden durch \(h_c\) bestimmten Teilstücke von \(c\) mit \(x\) und \((c-x)\) benennen, für die Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) (Winkelsummensatz) die jeweiligen Tangensbeziehungen aufstellen, in dem so entstehenden Gleichungssysten zunächst \(x\) eliminieren und dann nach \(h_c\) auflösen.

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Zur Kontrolle: Die Formel liefert A ≈ 6.55 m².