Hat T einen Fixpunkt? T gegeben durch ein Integral. T f(x) = int_(0)^x (s + s^2 f(s)) ds

Question

  kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Mit dem Typ von Aufgaben komme ich nämlich noch gar nicht zurecht, leider!

Answer 1

Hi,
$$  \| T(f) - T(g) \|_\infty = \left \|  \int_0^x (s+s^2f(s)) ds - \int_0^x (s+s^2g(s))ds)  \right \|_\infty \le \frac{1}{3} \| f - g \|_\infty $$ Also ex. eine Fixpunkt mit
$$ f(x) = \int_0^x (s+s^2f(s))ds $$