Minimale Fläche eines Dreiecks im Koordinatensystem

Question

Eine der Ecken eines Dreiecks liegt im Ursprung und eine seiner Seiten auf der x-Achse. Eine andere Seite liegt auf der Geraden y=3x. Die dritte Seite enthält den Punkt (1,1). Wie groß muss die Steigung dieser Seite sein, um den Flächeninhalt des Dreiecks zu minimieren?

(Hinweis für Rückfragen: Ich kenne die Lösung nicht!)

Comments

Wie groß muss die Steigung dieser Seite sein, um den Flächeninhalt des Dreiecks zu minimieren? 

Geometrische Überlegung: Müsste das nicht ein gleichschenkliges Dreieck geben? 

Weg: Berechne die Steigung der Winkelhalbierenden . Die 3. Seite steht senkrecht darauf (neg. Kehrwert). 

Anmerkung: Ich kenne die Lösung auch nicht ;) 

Answer 1

Hi,

Die Gerade:

h: y=m*(x-1)+1 geht für jedes m durch den Punkt P(1|1)

Schnittpunkt der Geraden g und h:

3x=mx-m+1
3x-mx=-m+1
x(3-m)=-m+1

x=(-m+1)/(3-m)
y=3*(-m+1)/(3-m)

---

Schnittpunkt der Gerade h mit der x-Achse

0=mx-m+1
(-1+m)/m=x

--

Flächeninhalt:

A(m)= 0,5 * [ (-1+m)/m ] *  [ 3*(-m+1)/(3-m) ] -> Extrema berechnen

Gruß

Comments

Aha, das sieht doch ganz gut aus und ist nachvollziehbar hergeleitet, danke schön!

Etwas zusammengefasst erhalte ich

$$ A(m) = \frac { 1.5 \cdot (m-1)^2 }{ m \cdot (m-3) } $$für \(m\ne 0\) und \(m\ne 3\).

Answer 2

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