Wie löse ich folgende Gleichung? 185000 = -572000 + X/((1+0.024/12)^12 )^2 + ... X/((1+0.024/12)^12)^15

Question

ich hab folgende Gleichung:

185000 = -572000 + X/((1+0.024/12)^12 )^2 + ... X/((1+0.024/12)^12)^15

Ich weiß, dass der Zähler X bei allen 13 Brüche der selbe ist. Zwischen dem 2 und den 15ten Jahr kommen natürlich noch die restlichen Brüche.

Leider weis ich nicht wie ich X errechne.

Die Lösung lautet: 65.985,56

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Aufgabe aus der Rentenrechnung?

Answer 1

$$185000=-572000+X\sum_{i=2}^{15}\left(\left(1+\frac{0.024}{12}\right)^{12}\right)^i$$

Setze k=i-2 und benutze dann die Formel $$\sum_{j=0}^ny^j=\frac{y^{n+1}-1}{y-1}$$

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Sorry, da sind mir zu viele Buchstaben da blick ich nicht durch.

Ein Unternehmen analysiert ein Investitionsprojekt, das heute eine Anschaffungsauszahlung von 572.000 erfordert. Das Projekt soll zukünftig über 14 Jahre hinweg eine konstante jährliche Einzahlung bringen, wobei die erste Einzahlung in 2 Jahren, und die letzte Einzahlung in 15 Jahren erfolgen soll. Wie hoch muss diese konstante Einzahlung sein, wenn das Unternehmen einen Kapitalwert von 185.000 erzielen will und von einem Kalkulationszinssatz von 2,4 % p.a. bei monatlicher Verzinsung ausgeht? 

Das ist die eigentliche Aufgabenstellung, falls es so einfacher geht.

Liebe Grüße ;) 

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Ich Gleichung die du gefunden hast ist richtig!!

Diese Gleichung kann man ja auch so schreiben:

$$185000=-572000+X\sum_{i=2}^{15}\left(\left(1+\frac{0.024}{12}\right)^{12}\right)^i$$

(Das ist die Definition der Summe.)

Um diese Summe zu berechnen, machen wir folgendes:

$$\sum_{i=2}^{15}\left(\left(1+\frac{0.024}{12}\right)^{12}\right)^i\overset{ k=i-2 }{ = } \sum_{k=0}^{13}\left(\left(1+\frac{0.024}{12}\right)^{12}\right)^{k+2} \\ =\left(\left(1+\frac{0.024}{12}\right)^{12}\right)^{2} \sum_{k=0}^{13}\left(\left(1+\frac{0.024}{12}\right)^{12}\right)^{k} \\=\left(\left(1+\frac{0.024}{12}\right)^{12}\right)^{2} \frac{\left(\left(1+\frac{0.024}{12}\right)^{12}\right)^{14}-1}{\left(1+\frac{0.024}{12}\right)^{12}-1}$$

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Da Du zuerst geantwortet hast, sollst Du auch einen Punkt bekommen.

Nur kleiner Fehler: wegen X/()

also "durch" statt "mal"

wird daraus sum 1/()

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Sorry... Du hast Recht!!

Also haben wir folgende Gleichung:

$$185000=-572000+X\frac{1}{\sum_{i=2}^{15}\left(\left(1+\frac{0.024}{12}\right)^{12}\right)^i}$$

Answer 2

Immer wieder interessant, wie man primitive Aufgaben kompliziert aufschreiben kann... :-)

Erst die konstante Klammer substituieren:

a=(1+(24/1000)/12)^12=

=250064884752295712280965016506001/244140625000000000000000000000000

=1.024265767945403237502832707608580096

185000+572000=757000

also mit ausklammern

757000 = x* sum (1/a...) mit b=1/a

x= 757000 / sum b^k,k=2...n mit n=15,b=244140625000000000000000000000000/250064884752295712280965016506001

laut https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Berechnung_der_.28endlichen.29_Partialsummen_einer_geometrischen_Reihe

wir daraus  (b*(b^n-b))/(b-1)

also

x= 757000 /[ (b*(b^15-b))/(b-1)]

x=757000/11.4722068581353189...

x=65985.5605256268911920682...

Probe:

65985.560525626891192*sum 0.976309109701012009791356221976999854^n , n=2...15

https://www.wolframalpha.com/input/?i=65985.560525626891192*sum+0.976309109701012009791356221976999854%5En,n%3D2...15

=757000

Answer 3

185000 = -572000 + X/((1+0.024/12)¹² )² + ... X/((1+0.024/12)¹²)¹⁵   | X ausklammern

185000 = -572000 + X* (1/((1+0.024/12)¹² )² + ... 1/((1+0.024/12)¹²)¹⁵ )      | + 572000

757000 = X* (1/((1+0.024/12)¹² )² + ...+ 1/((1+0.024/12)¹²)¹⁵ )      | : Klammer

757000 : (1/((1+0.024/12)¹² )² + ...+ 1/((1+0.024/12)¹²)¹⁵ ) = X 

Nun solltest du die Klammerung noch überprüfen und das dann ausrechnen. https://www.wolframalpha.com/input/?i=757000+:+(1%2F((1%2B0.024%2F12)%5E12+)%5E2+%2B+...%2B+1%2F((1%2B0.024%2F12)%5E12)%5E15+)

hat noch Mühe mit den Pünktchen. Es handelt sich um eine endliche geometrische Reihe.

Du kannst alle Summanden einzeln eintippen oder die abgebildete Formel vom folgenden Link verwenden. https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Berechnung_der_.28endlichen.29_Partialsummen_einer_geometrischen_Reihe