Bruchrechnung mit mehreren Exponenten. (4^4 * 10^2 * 27)^5 / (10 * 9 * 4^3)^7

Question

(4⁴ * 10² * 27)⁵ / (10 * 9 * 4³)⁷
Das Ergebnis beträgt 750.Gerechnet werden soll ohne Taschenrechner.
Könnte mir jemand bei dem Rechenweg helfen?Auf das Ergebnis komme ich, jedoch später nur sehr umständlich mit vielen schriftlichen Nebenrechnungen.
Vorallem wenn ich zum Schluss bis 691200⁵/5760⁷zusammengefasst habe.Das muss doch auch irgendwie einfacher gehen. Im Internet fand ich nur Erklärungen mit gleicher Basis bzw. gleichem Exponent. ☺️

Answer 1

$$\frac{(4^4 \cdot 10^2 \cdot 27)^5}{(10 \cdot 9 \cdot 4^3)^7}=\frac{(4^4 \cdot 10^2 \cdot 27)^5}{(10 \cdot 9 \cdot 4^3)^5} \frac{1}{(10 \cdot 9 \cdot 4^3)^2}=(4 \cdot 10 \cdot 3)^5 \frac{1}{(10 \cdot 9 \cdot 4^3)^2}$$

Hilft dir das weiter?

Answer 2

(4⁴ * 10² * 27)⁵ / (10 * 9 * 4³)⁷ 

= (4^4*5 * 10^2*5 * 27^5) / (10^7 * 9^7 * 4^3*7)

= (4^20 * 10¹⁰ * 27^5) / (10^7 * 9^7 * 4^21)   | kürzen

= ( 10¹⁰ * 27^5) / (10^7 * 9^7 * 4)

= ( 10^3 * 27^5) / (  9^7 * 4)      | faktorisieren

= (5^3 * 2^3 * (3^3)^5) / ((3^2)^7 * 2^2) 

= ( 5^3 * 2 * 3^15)/ 3^14

= ( 5^3 * 2 * 3) 

= 250 * 3

= 750 

Answer 3

= ((4^4)^5  *(10^2)^5 * 27^5)/(10^7  *9^7 *( 4^3)^7)

 27^5= (3*9)^5 =3^5 *9^5

= ((4^4)^5  *(10^2)^5 *3^5 *9^5)/(10^7  *9^7 *( 4^3)^7)

=(4^{20} *10^{10} *3^5 *9^5)/ (10^7 *9^7) *4^{21}) ---------->kürzen

=   ( 10^3 *3^5)/( 4 *9^2)

=  ( 10^3 *3^5)/( 4 *3^4)

= 750