> Ich bin etwas verwirrt warum arbeiten wir mit eiρ bzw. Cosinus & Sinus wenn wir nur die kartesischen koordinaten verwenden sollen.
eiφ brauchen wir für die Berechnung der z-Werte eigentlich gar nicht. In der Antwort wurde es nur zur Begründung benutzt.
Cosinus & Sinus benutzen wir, um zu den kartesischen Koordinaten zu kommen
> Das mit dem arccos habe ich auch nicht verstanden warum verwenden wir ihn überhaupt oder wozu brauchen wir ihn?
wenn w = a + b · i und b ≥ 0 gilt, dann gilt mit |w| = r arg(w) = arccos(a/r) . Das kannst du dir leicht vorstellen, wenn du den Pfeil und den Winkel einer komplexen Zahl im Koordinatensystem einzeichnest.
[ φw = arccos(a/r) findest du hier unter "Umrechnungsformeln" ]
> Wie kommt man auf z0 z1 und z2? Ich weiß dass z 3.grades ist und man somit 3 Lösungen erhalten sollte.
Die Zahlen z0 , z1 und z2 erhält man, wenn man k = 0,1,2 ( sowie φw = 3/4 π und r = 8)
in die Gleichung zk = 3√r · [ cos( φw / 3 + k/3 · 2π ) + i · sin( φw / 3 + k/3 · 2π ) ]
einsetzt und ausrechnet
> |z| = 8 (habe ich verstanden)
|z| = 8 ist falsch, |w| = | -4√2 + 4√2 | = 8 → |z| = 3√8 = 2
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Ich formuliere die Lösung von b) noch einmal etwas anders:
z3 + 4√2= 4√2i
z3 = - 4√2 + i · 4√2 [ = a + b · i = w mit a = -4√2 und b = 4√2 ]
z = 3√ ( - 4√2 + i · 4√2 ) [ hat im Komplexen 3 Werte ]
r = | - 4√2 + i · 4√2 | = √(a2+b2) = 8 [ nicht |z| = 8 ! ]
für z gibt es jetzt 3 Werte z0 , z1 und z2 [ = zk mit k = 0,1,2 ]
alle haben den Betrag |zk| = 3√r = 2
Für das Argument φw von - 4√2 + i · 4√2 gilt:
φw = arccos(a/r) = arccos( -4√2 / 8 ) = arccos( -√2/2) = 3/4 π
für die Argumente von z0 , z1 und z2 gilt:
φk = φw / 3 + k/3 · 2π = π/4 + k/3 · 2π [ k=0,1,2 ; φw / 3 und k/3 wegen z3 ]
jetzt benutzen wir die Polarform ( so kommt man zu kartesischen Koordinaten!)
zk = |zk| · ( cos(φk) + i ·sin( φk) )
zk = 2 · ( cos(π/4 + k/3 · 2π) + i · sin(π/4 + k/3 · 2π) )
und erhalten durch Einsetzen der Werte k = 0, k = 1 bzw. k = 2 wie in der Antwort
z0 , z1 und z2
(wenn man sin und cos ausrechnet und ausmultipliziert, hat man kartesische Koordinaten)