Komplexe Zahl in kartesischen Koordinaten

Question

Aufgabe:

Stellen Sie die folgende komplexe Zahl in kartesischen Koordinaten dar:

\( \left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^{26} \)

Problem/Ansatz:

Hallo

wie kann ich hier am besten anfangen? Die Wurzel stört oder?

Answer 1

wie kann ich hier am besten anfangen? Die Wurzel stört oder?

Warum? Was hast du gegen \(2^{13} \) im Nenner?

Comments

Oke. Dann habe ich ja

$$(1+i*2^{-13})^{26} = (1+i*2)^{-338}$$

Also $$\frac{1}{(2+i*2)^{338}}$$

Wie kann ich jetzt weiter vorgehen?

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Oder es müsste so sein:

$$\frac{(1+i)^{26}}{2^{13}}=(1+i)^{26}*2^{-13}$$

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Autsch.

Du hast \( \frac{(1+i)^{26}}{2^{13}} \).

Fasse den Nenner NICHT an (du machst ihn nur kaputt) und rechne lieber den Zähler aus.

Hast du übrigens mal dran gedacht, den Zähler als

 \((\sqrt2(cos45°+i*sin45°))^{26}\) darzustellen?

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Stimmt. Die Formel kann man ja nutzen. Aber was machen wir jetzt mit den 2^13

$$\frac{\sqrt{2}^{26}*(cos(40°*26)+i*sin(26*45°)}{2^{13}}$$

Warte...

Die Müssten sich ja kürzen oder? Weil mein TR gibt 1 raus. Also bei

$$\frac{\sqrt{2}^{26}}{2^{13}}$$

Answer 2

Hallo,

Wichtig: Du mußt es so machen, wie Du es gelernt hast, sonst kann es Punktabzug geben

:)

1): multipliziere mit \( \sqrt{2} \) / \( \sqrt{2} \)

=\( \sqrt{2} \)/2 + i \( \sqrt{2} \)/2

2) |z|= 1

tan φ = 1 -->φ= π/4

-->

3)z=1 ^(26) * (e^(i π)/4)^(26)

z= e ^(i 1170°) = e ^(i 90°)

z= cos(90°) +i sin(90°)

z=0+i*1

z= 0+i oder= i

Answer 3

Berechne zuerst (1+i)^2/2.

Das Ergebnis dann hoch 13.

Das Endergebnis ist überraschend einfach.

:-)

Comments

Kannst du das langsamer erklären?

Du hast also gekürzt. Und hast $$\frac{(1+i)^2}{2}$$

Wie geht man jetzt weiter vor? Würdest du dann auch diese Formel für den Zähler nutzen?

\( r^{n}(\cos n \varphi+i \sin n \varphi) \)

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Würdest du dann auch diese Formel für den Zähler nutzen?

Nein. Hier genügt die binomische Formel.

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Ich habe nicht gekürzt, sondern angefangen zu rechnen.

Und bevor ich hoch 26 rechne, versuche ich erst einmal hoch 2.

:-)

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Kannst du mir sagen, wie du darauf gekommen bist? Also auf $$\frac{(1+i)^2}{2}$$

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Guck doch in meinen letzten Kommentar.

:-)

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$$\frac{(1+i)^2}{2}=\frac{(1+i)*(1+i)}{2}=\frac{1+i+i-1}{2}=\frac{2i}{2}=\frac{1i}{1}=i\rightarrow i^{13}=i^2*i^2*i^2*i^2*i^2*i^2*i=-1*-1*-1*-1*-1*-1*i=i$$

Woher kennst du den Trick? :D Also das man das hoch 13 weg nimmt und später wider dazu gibt.

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Ich habe 37 Jahre Mathe unterrichtet.

:-)

Tipp: i^4=1