Komplexe lösungen bestimmen kartesischen koordinaten

Question

Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen zu ∈ℂ der folgenden Gleichungen.  Stellen Sie die Lösungen in kartesidchen Koordinaten dar, und bestimmen Sie hierbei die werte für Sinus & cosinus.

Ich habe es selber versucht, aber ist das was ich gemacht habe polarkooordination??oder kartesidchen

a) z^5 = -32

(r * e^ ( i * ρ) ) ^5= -32

r^5 * e ^{i5ρ} = -32

r^5 =32

r = 5√32

5ρ = 2πk imaginäre teil ist doch 0

ρ= 2πk/5

b. z^3 + 4√2= 4√2i

(r * e^{iρ} ) ^3 +4√2 = 4√2i

r^3 * e^{i3ρ} + 4√2 = 4√2i

weiter komm ich nicht

Answer 1

Hallo Samira,  wappne dich mit Geduld :-) und frage nach, wenn du etwas nicht verstehst!

b.    

z³ + 4√2= 4√2i  

z³ = - 4√2 + i · 4√2   [ = w = a + i ·b ← kartesische Koordinaten! ]

Für komplexe Zahlen w mit dem Betrag r und dem Winkel φ gilt:

ⁿ√w  = ⁿ√ (r·e^i·φ) = ⁿ√r ·(e^i·φ)^1/n = ⁿ√r ·(e^i·φ/n) 

Wegen der Mehrdeutigkeit von cos und sin gilt dann für die n komplexen Werte z_k von  ⁿ√w :

z_k = ⁿ√r · [ cos( φ₀ / n + k/n · 2π ) + i · sin(  φ₀ / n + k/n · 2π ) ] 

mit k = 0,1, ... , n-1 

Für die drei komplexen Werte von  ³√( - 4√2 + i · 4√2 ) gilt also:

z_k = ³√r · [ cos( φ_w / 3 + k/3 · 2π ) + i · sin(  φ_w / 3 + k/3 · 2π ) ] 

[ k = 0,1,2  und  n = 3  ( = Exponent von z) ]

mit  |w| = r = √(a² + b²) = √ [ (-4√2)² + (4√2)² ] = √ [32 + 32] = √64 = 8

und φ_w = arccos(a/r) = arccos( -4√2 / 8 ) = arccos( -√2/2) = 3/4 π                  [#]

→  mit k = 0,1,2

z₀ = ³√8 · [ cos(π/4) + i · sin(π/4) ] = 2 · [ √2 /2 + i · √2 / 2 ] = √2 + i · √2 

z₁ = 2 · [ cos(π/4 + 2/3 ·π) + i · sin(π/4 + 2/3 ·π) ]  = 2·cos(11/12 ·π) + i · 2·sin(11/12 ·π)

           ≈ -1,932 + i · 0,518 

z₂ = 2 · [ cos(π/4 + 4/3 ·π) + i · sin(π/4 + 4/3 ·π) ]  = 2·cos(19/12 ·π) + i · 2·sin(19/12 ·π)

          ≈ 0,518 - i · 1,932 

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 [#]  Man arbeitet hier einfacher mit  arccos(a/r) für b≥0 (und mit  - arccos(a/r)  für b<0)  als mit  arctan(b/a), weil man sich bei arctan mehr Unterscheidungen merken muss 

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Aufgabe a) kannst du genauso lösen: n = 5 und k = 0,1,2,3,4

Lösungen:

z_k = 1.618 + 1.176·i  ;  -0.618 - 1.902·i  ;  -0.618 + 1.902·i  ;  1.618 - 1.176·i  ;   -2

Gruß Wolfgang

Comments

Danke für deine hilfreiche Antwort:)

Erstmal verstehe ich nicht diesen Term hier, das davor habe ich begriffen

 z_k = ³√r · [ cos( φ₀ / 3 + k/3 · 2π ) + i · sin(  φ₀ / 3 + k/3 · 2π ) ] 

Ich weiß dass man z auch  so beschreiben kann: 

Polarkoordination: z = r * ( cos(ρ) + i*sin (ρ), r=|z|, ρ = arg (z)

Diesen teil: ( cos(ρ) + i*sin (ρ) lässt sich auch durch e^i*ρ beschreiben

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das ist eine spezielle Formel für die Lösungen einer Gleichung  z³ = w (= komplexe Zahl) an

Es gibt eben drei verschiedene Ergebnisse für  ³√w  und damit 3 Lösungen z_k und die kannst du mit dieser Formel einfach durch Einsetzen von r, Anfangsargument φ₀ und den verschiedenen Werten für k (hier 0,1,2) ausrechnen. Genau das habe ich in der Antwort gemacht.

φ ist einfach nur dein ρ

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Ich zeige dir mal was ich jetzt begriffen habe  und was ich notiert habe

z³ + 4√2= 4√2i   

z³ = - 4√2 + i · 4√2 

z= ³√(re^{iρ}) =  ³√r * e^{iρ/n}

z=  ³√r * (cos (ρ/3 + 2π/k) + i* sin (ρ/2 + 2πk/3))

ρ∈ { ρ/3 + 2πk/3; p/3 + 4π/3; ... ρ/3 +(2π*(n-1) /3 ) }

z=  ³√(-4√2 + i*4√2 )

Ich bin etwas verwirrt warum arbeiten wir mit e^iρ bzw. Cosinus & Sinus wenn wir nur die kartesischen koordinaten verwenden sollen.

Das mit dem arccus haben ich auch nicht verstanden warum verwenden wir ihn überhaupt oder wozu brauchen wir ihn?

Wie kommt man auf z0 z1 und z2? Ich weiß dass z 3.grades ist und man somit 3 Lösungen erhalten  sollte.

|z| = 8 (habe ich verstanden)

Danke

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Ich habe a versucht aber komme auch nicht wirklich weiter

z^5 = -32

z = fünfte √-32=-2

z= fünfte √re^iρ = fünfte √r * e^{i*ρ*1/5}

= fünfte √r *, cos (ρ/5 +2πk) + i*sin(ρ/5 +2πk)  )

|z| = √(a^2 + b^2) = √((-32)^2 +0^2)

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> Ich bin etwas verwirrt warum arbeiten wir mit eⁱρ bzw. Cosinus & Sinus wenn wir nur die kartesischen koordinaten verwenden sollen.

e^iφ brauchen wir für die Berechnung der z-Werte eigentlich  gar nicht. In der Antwort wurde es nur zur Begründung benutzt. 

 Cosinus & Sinus  benutzen wir, um zu den kartesischen Koordinaten zu kommen

> Das mit dem arccos habe ich auch nicht verstanden warum verwenden wir ihn überhaupt oder wozu brauchen wir ihn?

wenn w = a + b · i  und b ≥ 0 gilt, dann gilt mit |w| = r    arg(w) = arccos(a/r) . Das kannst du dir leicht vorstellen, wenn du den Pfeil und den Winkel einer komplexen Zahl im Koordinatensystem einzeichnest.

[ φ_w = arccos(a/r)  findest du  hier  unter "Umrechnungsformeln" ]

> Wie kommt man auf z0 z1 und z2? Ich weiß dass z 3.grades ist und man somit 3 Lösungen erhalten  sollte.

Die Zahlen z₀ , z₁ und z₂ erhält man, wenn man k = 0,1,2  ( sowie φ_w = 3/4 π und r = 8)  

in die Gleichung        z_k = ³√r · [ cos( φ_w / 3 + k/3 · 2π ) + i · sin(  φ_w / 3 + k/3 · 2π ) ] 

einsetzt und ausrechnet

> |z| = 8 (habe ich verstanden)

|z| = 8 ist falsch, |w| =  | -4√2 + 4√2 | = 8  →  |z| = ³√8 = 2

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Ich formuliere die Lösung von b) noch einmal etwas anders:

z³ + 4√2= 4√2i     

z³ = - 4√2 + i · 4√2                [ = a + b · i  = w  mit  a = -4√2 und  b = 4√2 ]

z = ³√ (  - 4√2 + i · 4√2 )       [ hat im Komplexen 3 Werte ]

r = | - 4√2 + i · 4√2 | = √(a²+b²)  =  8         [ nicht |z| = 8 ! ]

für z gibt es jetzt 3 Werte z₀ , z₁ und z₂      [ = z_k  mit k = 0,1,2 ]

alle haben den Betrag |z_k| =  ³√r = 2

Für das Argument φ_w  von  - 4√2 + i · 4√2  gilt:

φ_w = arccos(a/r) = arccos( -4√2 / 8 ) = arccos( -√2/2) = 3/4 π   

für die Argumente von z₀ , z₁ und z₂ gilt:

φ_{k =} φ_w / 3 + k/3 · 2π = π/4 + k/3 · 2π      [ k=0,1,2 ;  φ_w / 3 und k/3 wegen z³ ]

jetzt benutzen wir die Polarform ( so kommt man zu kartesischen Koordinaten!)

z_k = |z_k| · ( cos(φ_k) + i ·sin( φ_k) ) 

z_k = 2 · ( cos(π/4 + k/3 · 2π) + i · sin(π/4 + k/3 · 2π) )

und erhalten durch Einsetzen der Werte k = 0, k = 1 bzw. k = 2 wie in der Antwort

z₀ , z₁ und z₂ 

(wenn man sin und cos ausrechnet und ausmultipliziert, hat man kartesische Koordinaten)

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Jetzt ist es verständlicher für mich, danke.

Für z gibt es 3 werte da z 3.grades gilt woher weißt man dass man für k=0,1,2 einsetzt und nicht andere Werte?

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Die Formel zur Berechnung der z_k ist bei ihrer Herleitung so angelegt. Würde dort statt k überall k -1 stehen, könnte man k = 1,2,3 einsetzen, was für die Indizierung ( z₁ , z₂ , z₃ ) sinnvoller wäre. Die Formel würde aber unförmiger.

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Eine wichtige Frage noch warum darf man das i aus der Wurzel hier entfernen und nach der kartesischen koordinaten stellen

z³ + 4√2= 4√2i   

z³ = - 4√2 + i · 4√2 

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4√2i = 4 · √2 · i , sonst müsste es 4√(2i) heißen:

[ da hätte ich wohl besser nachfragen sollen :-) ]

√(2i) = √2 • √i = √2 · ( √2 / 2 + √2·i / 2 ) = 1 + i 

wäre dann eine andere Rechnung:

z³ = - 4√2 + 4 · (1+i) = - 4·√2 + 4 + 4·i   ( = w) →  a =  - 4·√2 + 4   und  b = 4

Der Rest geht dann genau wie oben mit anderem r und anderem φ_w

Als Lösungen hat man dann:

z = 0,2127383976 - 1,615908559·i

z = 1,293048663 + 0,9921911363·i

 z = -1,505787061 + 0,6237174227·i

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Das verstehe ich gerade gar nicht √(2i) = √2 • √i = √2 · ( √2 / 2 + √2·i / 2 ) = 1 + i  

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Also,

z^3 = -4√2 + 4*√(2i)

z= ³√ (-4√2 + 4* √(2i)

Das i in der Wurzel stört weil man so nicht r bestimmen kann.

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HALT ICH HABE MICH GEIRRT DAS I STEHT NICHT UNTER DER WURZEL!! :))

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√(2i)  = 1+i   weil  (1+i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i -1 = 2i

ist vielleicht besser einsichtig.

> HALT ICH HABE MICH GEIRRT

Böses Mädchen :-)

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Eine Frage zur Schreibweise

arg (w) = ρw= arccos (-4√2 / 8)= 135° =>3/4π

Weiss man dass ich mit 3/4π den Bogenmaß meine,  ich weiß nicht  wir man es mathematisch richtig aufschreibt.

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wenn bei eine Winkelangabe nur aus einer reellen Zahl (auch π ist eine reelle Zahl) besteht, ist das immer das Bogenmaß. Sonst müsste z.B. ° dastehen.

P.S.

Habe gerade eine Kurzfassung für das Lösen von zⁿ = w  gefunden, die ich irgendwann mal geschrieben habe:

Lösung der komplexen Gleichung  zⁿ = w     [ n ∈ ℕ , n ≥ 2 ]

w hat dann eine der Formen  w  =  a + i · b  = r · e^i ·φ  =  r · ( cos(φ) + i · sin(φ) )  [ oder w muss in eine solche umgerechnet werden].

Den Betrag  |w| = r  und das Argument φ_w  kann man dann direkt ablesen oder aus den Formeln

r = √(a² +b²)  und  φ_w = arccos(a/r) wenn b≥0  [  - arccos(a/r) wenn b<0 ] ausrechnen.

Die n Werte z_k  für z = ⁿ√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1

aus der Formel    z_k = ⁿ√r · [ cos( φ_w / n + k/n · 2π ) + i · sin(  φ_w / n + k/n · 2π ) ] 

 

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Darf ich das dann so schreiben:

arg (w) = ρw= arccos (-4√2 / 8)= 135° =>3/4π

Danke für die Kurzfassung,  sehr hilfreich!! :)

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=> steht eigentlich nur zwischen Aussageformen (versteht aber jeder :-))

135° = 3/4π  geht aber

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Ich Weiss es klingt jetzt eimbisschen blöd, aber ich Weiss noch nicht ganz warum k=0,1,2sein muss ich Weiss dass z 3 werte hat da z^3 gilt.

In der Uni haben wir immer für k=0,1,2 und (n-1) eingesetzt aber um ρ zu erhalten und nicht z.

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φ_w / n + k/n · 2π  ergibt doch die verschiedenen Werte von φ  ( = ρ)

und einer dieser Werte ist  φ_w / n  und den erhält man mit k = 0

Für k = n ergeben sich mit  φ_w / n + n/n · 2π  =   φ_w / n + 2π  die gleichen cos- und sin-Werte wie für k = 0 

Man könnte also auch k = 1, ... ,n  indizieren. Aber   φ_w / n + n/n · 2π  ist umständlicher als   φ_w / n .

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Okay Dankeschön, jetzt habe ich es begriffen.

Sind also dann z0 z1, z2 die kartesischen koordinaten?

Ich rechne gerade z0, z1, z2 aus

z₀ = 2 · [ cos(π/4) + i · sin(π/4) ] =2 * cos (π/4) + i *2*sin (π/4) 

Ich komme hier nicht auf √2 + i · √2  (Weil Ich Diese Umformung  s.o. Nicht verstehe  2 · [ √2 /2 + i · √2 / 2 ]  )

z₁ = 2 · [ cos(π/4 + 2/3 ·π) + i · sin(π/4 + 2/3 ·π) ]  = 2·cos(11/12 ·π) + i · 2·sin(11/12 ·π)

wenn ich 2·cos(11/12 ·π) im Taschenrechner eintippen erhalte ich nicht -1,932 das gleiche gilt für Sinus. 

z₂ = 2 · [ cos(π/4 + 4/3 ·π) + i · sin(π/4 + 4/3 ·π) ]  = 2·cos(19/12 ·π) + i · 2·sin(19/12 ·π)

Wie bei z1 hab richtig hier das gleiche Problem.

Ich Weiss dass ich dir bestimmt auf die nerven gehe mit meinen Fragen,  tut mir echt leid:/ ich will es halt verstehen.

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z₀ = 2 · [ cos(π/4) + i · sin(π/4) ] =2 * cos (π/4) + i *2*sin (π/4) 

Ich komme hier nicht auf √2 + i · √2  (Weil Ich Diese Umformung  s.o. Nicht verstehe  2 · [ √2 /2 + i · √2 / 2 ]  )

Hier werden einfach die Werte für cos und sin eingesetzt:

 cos (π/4) =  sin(π/4)  =  √2 / 2     [ TR  ≈ 0,7071 ]

→  2 · [ cos(π/4) + i · sin(π/4) ]  = 2 · [  √2 /2 + i · √2 / 2 ]  ]  = √2 + i · √2

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Für cos (π/4) =  sin(π/4)  erhalte ich 0,999..

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 cos (π/4) = 0,999

sin(π/4)= 0,0137

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Dann hast du für den Winkel π/4 °  eingesetzt !     [ cos(  π/4 °) = 0,999... ]

Du musst den TR ins Bogenmaß  ( RAD  statt  DEG )  umstellen

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Achsoo Dankeschön jetzt klappt es:)

Würdest  du noch a korrigieren?

z^5 = -32

z =5te √-32=-2

r= √(a^2 + b^2) = √(-32)^2 = 32

|z| = 5te√r = 2

z= 5te√r * cos (ρw/5 + 2πk/5) + i*sin (ρw/5 + 2πk/5)

z= 2*  cos (ρw/5 + 2πk/5) + i*sin (ρw/5 + 2πk/5)

ρw= arccos (a/r) = arccos (-1)=180°= π

z= 2* ( cos (π/5 + 2πk/5) + i*sin (π/5 + 2πk/5) )

k=0,1,2,3,4

z0= 2*cos (π/5) + i*2*sin (π/5) = 1,62 + i* 1,176

z1=2*  cos (π/5 + 2π/5) + i*2*sin (π/5 + 2π/5)= -0,62 + i*1,90

z2= 2*  cos (π/5 + 4π/5) + i*2*sin (π/5 + 4π/5)= -2

z3= 2*  cos (π/5 + 6π/5) + i*2*sin (π/5 + 6π/5)= -0,618 + i * (-1,90)

z4= 2*  cos (π/5 + 8π/5) + i*2*sin (π/5 + 8π/5)= 1,61 + i* (-1,176)

Ich danke dir sehr!!!

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Bis auf die Rundung bei z₄ sind die Ergebnisse richtig  :-)

wie ich in der Antwort geschrieben habe: wappne dich mit Geduld 

Immer wieder gern :-)

Answer 2

HAllo

Aufgabe a)

 

Comments

> z⁵ = -32

>  |z| = √[ (-32)² + 0² ] = 32 

   |z|  in der 2. Zeile  macht keinen Sinn. Das ist | z⁵ |

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Selbstverständlich macht das Sinn , denn der Im-Teil ist nunmal 0.

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Du kannst doch nicht ernsthaft für  die komplexe Zahl -32 die Variable  z  aus der Gleichung         z⁵ = -32 verwenden und dann behaupten, dass das "selbstverständlich" Sinn mache ?