Wie kann man den Funktionswert einer Stammfunktion berechnen?

Question

Beispielfunktion :

f(x) = sin(x) * (x ^ 3) / (-1 + (e ^ x))

e = Eulersche Zahl

Meine Frage lautet jetzt -->

Wie kann ich den Funktionswert der Stammfunktion (!!) der oben genannten Funktion zum Beispiel an der Stelle x = 0.75 berechnen ?

Die Integrationskonstante C soll dabei C = 0 sein.

Anmerkung -->

Mir geht es eigentlich gar nicht um diese Funktion und auch nicht um die Stelle x = 0.75, das sind nur Beispiele. Mir geht es eigentlich um die Frage, wie man es generell am besten und einfachsten zu Wege bringen kann den Funktionswert einer Stammfunktion zu berechnen, wenn das Integral schwer oder gar nicht lösbar ist und die Ableitungen der Originalfunktion rasch immer länger und immer komplizierter werden je höher der Grad der Ableitung ist.

Alle Ideen und Vorschläge sind mir willkommen !

Ich bedanke mich bereits im voraus für jede konstruktive und hilfreiche Antwort !

LG

Answer 1

Man ersetzt den Integranden  durch Reihen.

In unserem Fall ist das sin(x) und e^x.

Siehe hier

http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/taylorreihe.pdf

Für diese beiden Fälle braucht man nichts weiter zu entwickeln ,  dazu gibt es Tabellen .

Nach dem Ersetzen, schaut man , ob man noch vereinfachen kann und integriert dann.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort !

Answer 2

Du könntest es näherungsweise Integrieren, indem du den Bereich in n Teilintegrale zerlegst und jedes Integral über ein Trapez näherst.

∫ (0 bis 0.75) (x^3·SIN(x)/(e^x - 1)) = 0.05437

Z.B. hier mal in 3 Teile

1/2·0.25·(f(0) + 2·f(0.25) + 2·f(0.5) + f(0.75))

Für f(0) ist dabei zunächst dre Grenzwert mit 0 zu bestimmen

1/2·0.25·(0 + 2·f(0.25) + 2·f(0.5) + f(0.75)) = 0.05867798393

Mach nicht 3 sondern 5, 15, 25 oder n Teilintervalle und erhöhe damit die Genauigkeit.

Answer 3

Hi,

ich möchte nur darauf hinweisen, wenn es eine Stammfunktion gibt, gibt es sogar unendlich viele Stammfunktionen gibt die sich alle nur um eine beliebige Konstante unterscheiden.

Also die von Mathecoach genannte Funktion ist natürliche eine Stammfunktion, aber

$$ \int_{0.5}^x \frac{\sin(x) x^3}{e^x - 1} dx $$ auch und da kommt was ganz anderes raus. Daran siehst Du, dass diese Frage nicht eindeutig beantwortet werden kann.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort !

Ich hatte allerdings in meiner Frage extra mit dabei geschrieben, dass die Integrationskonstante C dabei C = 0 sein soll.

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@Spielkamerad: Es nützt dir nichts, wenn du C= 0 so festlegst.

https://www.mathelounge.de/36365/bestimme-die-integrale-mit-partieller-integration-∫sin-cos

https://www.mathelounge.de/312038/partielle-integration-sin-x-cos-x

Wenn man f(x) = sin(x) * cos(x) integriert, kommt man ohne Berücksichtigung von C auf 2 korrekte Lösungen, die aber gar keinen Punkt gemeinsam haben. Nämlich:

F(x) = 1/2 sin^2(x)

oder

F(x) = -1/2 cos^2(x)

Das ist natürlich ungeschickt. Daher zwingend erst mal:

F(x) = 1/2 sin^2(x) + C

oder

F(x) = -1/2 cos^2(x) + D

Wenn du F(x) eindeutig vorgeben willst, musst du darauf einen Punkt festlegen.

Z.B. F(0) = 0. Dann hast du hier

F(x) = 1/2 sin^2(x) + 0     , mit C = 0

oder

F(x) = -1/2 cos^2(x) + 1/2      , mit D = 1/2

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Recht herzlichen Dank für deinen guten Hinweis !