Nicht-Differenzierbarkeit einer Funktion von mehreren Variablen zeigen

Question

Hallo liebe Mathematiker,

ich soll zeigen, dass folgende Funktion \( f: \mathbb R^{2} \to \mathbb{R} \) im Ursprung, also im Punkt \((0,0)\) nicht differenzierbar ist.

Ich weiß nicht, wie ich das machen soll. Kann das jemand vielleicht als Musterlösung vorrechnen? Wäre für mich sehr hilfreich.

Danke

Answer 1

die Folge  (x_n , y_n) = ( 1/n² , 1/n)   → (0,0)  für  n → ∞

für die zugehörige Funktionswertfolge gilt:

  f( (x_n , y_n) ) =   1/n² · 1/n² / (1/n⁴ + 1/n⁴)  =  1 / [ n² · n² ·  (1/n⁴ + 1/n⁴) ] = 1/2

 sie hat also für n→∞  den Grenzwert  1/2  ≠  f( (0,0) ) = 0

→  f  ist in (0,0) nicht stetig, also auch nicht differenzierbar

Gruß Wolfgang

Comments

Hey Wolfgang,

danke für deine schnelle und super Antwort!

1. Gehe ich bei so einer Fragestellung immer so vor mit diesen Nullfolgen?

2. Ist es egal, welche Nullfolge ich nehme?

3. Ich habe da noch ein paar weitere Fragen, die allgemein unter "Analysis" und Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlicher einzuordnen wären. Soll ich für jede einzelne Frage ein neues Thema eröffnen oder geht es auch wenn ich sie unter diese Frage schreibe?

Besten Gruß

Matematik