Schnittpunkt der beiden Graphen f(x) = 0,5x^3 & Tangente in P(2|4) mit g(x) = 6x-8?

Question

Ich muss den Schnittpunkt ausrechnen aus den zwei Graphen f(x) = 0,5x^3 & g(x) = 6x-8

Also:

0,5x^³ = 6x-8  l Ich hole die 6x-8 rüber

0,5x^³-6x-8 = 0 l Davon die Nullstelle, aber wie gehe ich vor? Welches verfahren?

Comments

Bist du denn sicher, dass es nur einen Schnittpunkt gibt?

0,5x³ = 6x-8  l Ich hole die 6x-8 rüber

0,5x^3 -6x + 8 = 0    | * 2

x^3 - 12x + 16 = 0 

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Es ist eine Tangente, sie berührt den Graph an einer weiteren Stelle.

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Also du suchst eine gemeinsame Tangente?

Soll die Gerade eine Tangente an die Kurve sein?

Oder wo genau soll die Tangente die Kurven berühren?

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An dem Punkt  (2/4)

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Nein, Ich habe die Tangentengleichung bestimmt und in der Teilaufgabe b soll ich einen weiteren Schnittpunkt der Gerade an der Funktion bestimmen.

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Bitte mal die vollständige Fragestellung.

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Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 0,5x^3

a) Bestimmen sie die Gleichung der Tangente t am Graphen von der Funktion f im Punkt (2lf(2)).

 Habe ich: t(x) = 6x-8

b) Die Tangente schneidet den Graphen der Funktion f in einem weiteren Punkt S. Bestimmen sie den Punkt s.

Da wir schonmal da bei sind.. c versthe ich irgendwie komplett nicht:

c) Überlegen sie mithilfe des Graphen von f:

In welchem Punkt Q auf dem Graphen von f hat die Tangente keinen weiteren Schnittpunkt mit dem Graphen von f?

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Wenn du die Tangente bestimmt hast, haben Tangente und Kurve einen gemeinsamen Punkt, den du kennst.

D.h. du kennst eine Lösung der Gleichung

x³ - 12x + 16 = 0 

bereits. (Falls deine Tangentengleichung richtig ist).

Ich prüfe das erst mal:

~plot~ 0,5x^3; 6x-8 ;{2|4};[[5]] ~plot~

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Das ist ja bisher bekannt..

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Wie gesagt:

"D.h. du kennst eine Lösung der Gleichung 

x³ - 12x + 16 = 0   "

Die habe ich nun in der Antwort verwenden können. Vgl. Antwort.

Da brauchst du jeweils nicht ganz von vorn zu starten.

Answer 1

Nun zu b)

0,5x³ = 6x-8  l Ich hole die 6x-8 rüber

0,5x^3 -6x + 8 = 0    | * 2

x^3 - 12x + 16 = 0        | Wegen P(2|4) Berührpunkt, ist x = 2 eine mindestens doppelte Lösung dieser Gleichung.

D.h. du kannst 

x^3 - 12x + 16  zerlegen in (x-2)^2 ( x - d) 

Nun schaust du dir die Konstante an:

+ 16         muss in der Zerlegung (-2)^2 * d entsprechen.

Also

16 = 4 * d.

Die Zerlegung ist daher

x^3 - 12x + 16 = (x - 2)^2 (x+4) 

Der gesuchte Schnittpunkt von Tangente und Kurve liegt bei x = -4.

Nun berechnen wir das zugehörige y

y = 0.5 (-4)^3 = (-32)

Schnittpunkt S(-4| - 32) 

Nochmals in den Plotter mit der Lösung, um das zu kontrollieren:

~plot~ 0,5x^3; 6x-8 ;{2|4};[[35]];{-4|-32} ~plot~ 

c) Bei c) kann eigentlich nur der Punkt Q(0|0) gemeint sein. Dort gibt es aber nur eine Tangente, wenn man alle Geraden als Tangenten bezeichnet, die in einem Punkt die gleiche Steigung haben wie der Graph der Kurve, unabhängig davon, ob die Tangente die Kurve in diesem Punkt durchdringt. 

Answer 2

Das Gleichsetzen führt zu 0,5x³-6x+8=0. Eine Lösung dieser Gleichung ist mit dem Berührpunkt gegeben, nämlich x = 2. Also Polynomdivision (,5x³-6x+8):(x-2)=0,5x²+x-4. Dieser quadratische Term hat die Nullstellen x=2 und x=-4. der gesuchte Schnittpunkt liegt bei x = -4.