Rinne mit Querschnitt Parabel = Flächeninhalt Rechteck

Question

ich brauche bei folgender Aufgabe Hilfe:

Eine Rinne der Tiefe h und der Breite 2a habe einen Querschnitt in der Gestalt einer Parabel. Wie groß muss die Tiefe H einer Rinne mit rechteckigem Querschnitt bei gleicher Breite sein, damit die Querschnitte beider Rinnen gleich groß sind? Fertigen Sie sich zunächst eine Skizze an und stellen die Parabelgleichung auf.

Habe als Parabelgleichung a^2+h

und dann muss ich ja das Integral von f(h) bilden und dieses mit 2a*h gleichsetzten oder?

Danke für die Hilfe!

Answer 1

Eine Rinne der Tiefe h und der Breite 2a habe einen Querschnitt in der Gestalt einer Parabel. Wie groß muss die Tiefe H einer Rinne mit rechteckigem Querschnitt bei gleicher Breite sein, damit die Querschnitte beider Rinnen gleich groß sind? Fertigen Sie sich zunächst eine Skizze an und stellen die Parabelgleichung auf.

Meintest du so " Habe als Parabelgleichung a² - h"   ?

Das ist etwas zu einfach. 

Skizze: Als Beispiel mit h=12 und a = 2.

~plot~ 3x^2 - 12; {-2|0};{0|0};{2|0};[[13]] ~plot~

Ansatz muss sein. 

y = k*x^2 - h 

Nun k bestimmen

0 = k* a^2 - h

h = k * a^2

h / a^2 = k

Also y = (h/a^2) * x^2 - h .

Nun kannst du integrieren und die Quersschnittsfläche ausrechnen. Da schaffst du selbst (?) . 

Answer 2

Wenn es sich nicht unbedingt um eine Normalparabel handelt, die den Querschnitt der ersten Rinne darstellt, kann ihre Gleichung lauten: f(x)= x²/a² - 1. Jetzt das Integral von f(x) in den Grenzen von -a bis +a  bilden und durch die Breite 2a teilen. Dann erhält man die Tiefe der zweiten Rinne.