Gleichungssystem lösen. e^{x - y} = x·e^x + 2·y usw.

Question

ich soll folgendes Gleichungssytem lösen:

$$ { e }^{ x-y }={ xe }^{ x+2y }\\  ln\sqrt { x }={ y }^{ 2 }-1$$

Mein Ansatz war dass ich die erste Gleichung nach y aufgelöst habe:

$$ y=-\frac { ln(x) }{ 3 } $$

Nun habe ich dies in die zweite Gleichung eingesetzt:

$$ln\sqrt { x }={ -\frac { ln(x) }{ 3 } }^{ 2 }-1$$

Jetzt komme ich aber nicht mehr weiter....

Answer 1

e^{x - y} = x·e^{x + 2·y} --> y = - LN(x)/3

Das hast du soweit richtig gemacht.

LN(√x) = y^2 - 1

LN(x)/2 = (- LN(x)/3)^2 - 1

LN(x)/2 = LN(x)^2/9 - 1

Substitution z = LN(x)

z/2 = z^2/9 - 1

z^2/9 - z/2 - 1 = 0

z^2 - 4.5·z - 9 = 0 --> z = - 3/2 ∨ z = 6

LN(x) = -3/2 --> x = e^{- 3/2} --> y = - LN(e^{- 3/2})/3 = 1/2

LN(x) = 6 --> x = e^6 --> y = - LN(e^6)/3 = - 2

Bitte mach selber noch die Probe.

Comments

Super vielen Dank!

Total nachvollziehbar :-)

Answer 2

bis jetzt stimmt es.

Setze z= ln(x), dann bekommst Du eine quadratische Gleichung.