Beweise führen / Gegenbeispiele finden

Question

ich bearbeite gerade einen Mathe-Vorbereitungskurs für mein im WS beginnendes Informatikstudium und habe Probleme mit Aufgaben, die mich vor Aussagen stellen, für die ich entweder einen Beweis führen, oder ein Gegenbeispiel finden muss. Konkret folgende Aufgabe:

Behauptung: Für alle A und B in M₂₂(ℚ) gilt det(A + B) = det(A) + det(B).

Die Lösung ist ziemlich knapp, indem man A und B wie folgt definiert:

 

Daraus ergibt sich dann I₂, det(A) = 0 und det(B) = 0, aber det(A+B) = 1.

Mein Problem ist jetzt, dass mir das grundlegende Verständnis fehlt, "auf Anhieb" zu erkennen, ob etwas wahr oder falsch ist, ich also anfangen soll einen Beweis zu führen, oder ein Gegenbeispiel zu finden. Und für den Fall des Gegenbeispiels fehlen mir Methoden um "gute" Beispiele zu finden. Ist das alles nur Übungssache, oder gibt es da Tricks oder Schemata an denen man sich orientieren kann? Wie schule ich mein Auge so etwas zu erkennen?

Answer 1

" Mein Problem ist jetzt, dass mir das grundlegende Verständnis fehlt, "auf Anhieb" zu erkennen, ob etwas wahr oder falsch ist, ich also anfangen soll einen Beweis zu führen, oder ein Gegenbeispiel zu finden. "

Ich denke, du hast mal gelernt, dass Det(A*B) = Det(A) * Det(B). 

Dann kann man eigentlich vermuten, dass nicht auch noch Det(A + B) = Det(A) + Det(B) gilt. Das wäre ja ein einfacheres Gesetz, das man vorher schon kennenlernen sollte. 

Wenn du dann Gegenbeispiele suchst, beginnst du am besten mit etwas, das viele 0 und 1 enthält, damit es nicht zu viel zu rechnen gibt. 

Also erst mal die Formeln, die du gelernt hast, sicher kennen und dann systematisch suchen. 

Answer 2

det(\(\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\))  = a·d - b·c

A + B = \(\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\)

Damit ergeben sich die o.g. Ergebnisse ganz einfach.

Allgemein:

det(\(\begin{pmatrix} a_1+a_2&b_1+b_2\\ c_1+c_2&d_1+d_2\end{pmatrix}\) = ( a₁+a₂) ·(b₁+b₂) - (c₁+c₂) · (d₁+d₂)

Ausmuttiplizieren und mit det(A) · det(B) vergleichen.

Gruß Wolfgang