Integral ( / lnx/ )/x dx berechnen

Question

ich bin ein wenig verwirrt wegen der ersten umformung.

Muss das Minus dahin weil lnx als Betrag aufgeführt ist?

Weil durch das Minus ist die Fläche geringer als bei der ursprünglichen Aufgabe.

Dort wird die Fläche von 1/e bis e gesucht.

Nun wird aber von der Fläche 1 bis e, die fläche 1/e bis 1 abgezogen.

Comments

Hier noch die Illustration und eine Bestätigung des Resultats.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(%7Cln(x)%7C+%2F+x)+dx+from+1%2Fe+to+e

Die Integrationsgrenzen lieben bei e ist bei 2.72 und der andere 1/e ca. bei 0.37

Am "Knick" bei x = 1 ändert der ln(x) das Vorzeichen und der Betrag kommt ins Spiel.

Answer 1

es gilt

ln(x)<=0 für x∈ (0,1]

Das Integral wurde aufgespalten und dann wurde der |ln(x)|nach dieser Regel aufgelöst. Da stammt das Minus her.

Comments

mit anderen worten im x bereich von null bis 1 ist eine beliebige ln funktion kleiner null oder null.

??

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Ja, formal aufgeschrieben:

|ln(x)|=-ln(x) falls x∈ (0,1]

~plot~ abs(ln(x)); ln(x) ~plot~