Zeigen, topologischer Raum ist zusammenhängend

Question

Beweisen Sie, dass f(X), ausgestattet mit der Teilraumtopologie, zusammenhängend ist, wann immer f : X → Y eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und X zusammenhängend ist.

Es ist eigentlich ganz einfach. Angenommen, f(X) wäre unzusammenhängend, d. h. es gäbe eine disjunkte Vereinigung f(X) = U ∪V mit nicht-leeren und in f(X) offenen Mengen U und V.

Dann wäre auch X = f ^-1 (U)∪ f ^-1(V) eine disjunkte Vereinigung von nicht-leeren offenen Mengen. Also Widerspruch dazu, dass X  zusammenhängend ist.

Mein Problem ist, dass ich die Eigenschaften von der Teilraumtopologie nicht verwendet habe. Aber ich sehe gerade nicht ein, wo ich die Eigenschaft reinbringen kann.

Ich hoffe, dass jemand mir weiterhelfen kann.

Answer 1

Kann es sein, dass es damit zusammenhängt:

Du hast ja f ^-1 ( f ( X ) ) = X benutzt.  Das gilt aber doch nur, wenn f injektiv ist.

Davon ist aber keine Rede.