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ist es richtig dass die Folge 1/x konvergiert..

aber die Reihe 1/x divergiert?


Ich versuche gerade dieses Thema zu verstehen.


Danke vielmals

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  Schau mal, was Pappi alles weiß:


https://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium

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ja, das ist richtig.

an = 1/n konvergiert gegen 0

aber wenn man die Folgenglieder immer weiter addiert, wird die Summe beliebig groß:

limn→∞  \(\sum\limits_{k=1}^{n} 1/n\) = ∞  (also divergent)

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

danke wolfgang.

könnte man die Reihe auch so aufschreiben?

Bild Mathematik 

Ja, das ist sogar die übliche Schreibweise.

In der Antwort steht die Definition dieses Symbols.

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Ja, die Folge mit 1/x und x aus IN für n gegen unendlich ist

ja  1/1    1/2      1/3      1/4       1/5      1/6   etc

für immer größeres x ist das dann   1/1000      1/10000000   etc,

und die Werte sind ganz nahe bei 0, also konvergiert die Folge gegen 0.

Die reihe entsteht, durch Addition der Folgenglieder

also   1/1  +  1/2   +   1/3  +    1/4   +    1/5  +    1/6   etc

und obwohl das ja ziemlich kleine Werte sind, wird durch die

Summe irgendwann jeder endliche Wert überschritten,

(Beweis dazu nicht ganz einfach siehe harmonische Reihe )  d.h.

die Reihe divergiert.

Avatar von 289 k 🚀
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Ja, diese sehr berühmte harmonische Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe

divergiert:

unter Asymptotische Entwicklung sieht man, dass es eine Summe aus 3 Teilen ist:

Konstante + ln(x) + O(1/x) {letzte ist immer kleiner werdender Rest gegen 0}

Allgemein ist es

http://www.gerdlamprecht.de/nichttrivialeGrenzwerte_Limes.html

Fall §18 mit B=1 und a=1

Man hat sogar eine explizite Funktion dafür, die reelle Argumente erlaubt (statt nur ganze Zahlen, die über dem Summenzeichen stehen):

HarmonicNumber(2)= 1/1 + 1/2 = 3/2 = 1.5 aber explizit universell gilt:

HarmonicNumber(x)= x * hyg3F2(1,1,1-x,2,2,1) {hypergeometrische Funktion kein Schulstoff}

HarmonicNumber(2.5)=1.68037230554677604783220242375...

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

Bild Mathematik


Für interessierte: Es gibt sogar Folgen, die noch langsamer gegen 0 konvergieren,

ABER dessen Summe immer noch divergieren wie:

§16 aus dem 2. LINK.

Avatar von 5,7 k

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