Grenzen einer einfachen Parametrisierung. S = {(x,y,z) | y= 1-x^2-9z^2, 0≤ y≤1}

Question

ich bräuchte hilfe für diese Funktion. Eine einfache Parametrisierung wäre ja [ x, 1-x²-9z², z]. Ich bin mir bei den Grenzen ein wenig unischer. Meine Idee ist für x alle anderen gleich null zu setzen, also 0=1-x² -> x=±1 also -1<=x<=1.

Für y stehen ja da schon die Grenzen, also 0<=y<=1. Für z bin ich mir jetzt nicht sicher.

Eine andere Parametrisierung wäre ja die Zylinderkoordinaten. Also erst umstellen : x²+9z²+y=1. 9z² substituieren mit w², also x²+w²+y=1. x=r*cos(phi), w= 3z=r*sin(phi) -> z=1/3*r*sin(phi). Einsetzen würde liefern r²+y=1, umstellen nach y, dann y=1-r². Also hätten wir [r*cos(phi), 1-r², 1/3*r*sin(phi)]. Die Grenze für phi wäre 0<= phi =<2π. Beim Radius bin ich mir nicht sicher.

Würde mich super freuen wenn mir jemand kann sagen welche Grenzen und warum ich sie bei den beiden Parametrisierungen benutzen muss.

Comments

Die Frage wurde schonmal so gestellt, vielleicht hilft dir die dortige Antwort auch:

https://www.mathelounge.de/365618/paramaterisierung-einer-funktion-s-x-y-z-y-1-x-2-9z-2-0%E2%89%A4y%E2%89%A41

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Ja, ist auch von mir :D nur geht es mir diesmal um die Grenzen

Answer 1

Hi,

Ich würde mir kurz veranschaulichen was wir hier eigentlich haben. Dafür y = 0 und y = 1 einsetzen.

Für y = 1 haben wir x = 1 = z.

Für y = 0 haben wir 1 = x^2 + 9z^2 und damit ein Ellipse.

Das hast Du ja schon so aufgeschrieben, wie auch die passende Parametriesierung in Zylinderkoordinaten.

In der Tat hast Du für φ das von Dir angegebene Intervall. Für r nimm das Intervall zwischen 0 und 1. Die Halbachsen sind ja in der Parametrisierung selbst berücksichtigt. Sieh es also als Prozentangabe, falls das hilft :).

Grüße

Comments

Also beim Radius bin ich mir noch etwas unsicher. Nehmen wir einfach die Stelle mit dem größten Radius ? Also für y=0?

Und wie würde ich auf die Grenzen der ersten Parmetrisierung kommen?

Nochmals ^^

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Okay nein ich habe das mit dem Radius jetzt verstanden. Also wir haben ja y=1-r², und für y=0 ist r =1 und für y=1 ist r=0, also muss r zwischen 0 und 1 sein~

Aber bei der ersten Parametrisierung verstehe ich die Grenzen nicht...

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Nein, das r sehe als Prozentsatz. Du schaust Dir den Radius zwischen 0 und 100 %. Der eigentliche Wert des Radius ist durch die Parametrisierung gegeben :).

Bei den kartesischen Koo...gehe von y aus. Dann haste die erste Koo nach x aufgelöst und die letzte nach z auflösen. Kommen aber Wurzeln rein etc. Intervall ist für y von 0 bis 1. Für die anderen beiden würde ich von 0 ausgehen bis zur Obergrenze, welches eine Funktion sein wird. Das wäre dann allerdings nur 1/4 des zu berechnenden Integrals. Da also aufpassen :).

Würde mich an die Zylinderkoo halten!

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nochmals danke für die Antwort!

Ich kann dir leider nicht ganz folgen, was genau meinst du mit Prozentsatz? Bei z.B x^2+y^2=4, wäre der Radius ja Wurzel von 4 also 2, weil x^2+y^2=r^2. In diesem Beispiel wäre die Grenze 0<=r<=2. Wie genau würde es jetzt mit dem Prozentsatz funktionieren?

Und müsste ich nicht bei den kartesichen Koordiniaten irgendwas null setzen? Z B. Bei x^2 + y^2 + Z^2= 1 würde man für x alle anderen null setzen also, y=z=0 -> x^2=1 also -1<=x<=1. Für y setzen wir z=0, also X^2+y^2=1 -> y=Wurzel(1-x^2) usw..

Habe jetzt diese Beispiel kurz genannt um meine Vorgehensweise zu zeigen bzw. meine Denkweise :D

Ich Danke dir für die ganze Hilfe Bis jetzt ^^

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Okay, ich glaube ich habe das mit dem Prozentsatz jetzt verstanden. Das wäre dann ja bei meinem Beispiel:

x²+y²=4 -> x²/4+y²/4=1 -> (x/2)²+(y/2)²=1. Dann wäre die Grenze 0<r<1 und der Radius wäre in der Parametrisierung enthalten oder?

Wie genau würde das jetzt in der Aufgabe ablaufen? An einfachen Beispielen verstehe ich das ja..

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Zum Radius am Kreis:

Hier würdest Du doch die Parametrisierung (2cos(a),2sin(a)) wählen und damit ist der Radius r wieder von 0 bis 1, wobei der eigentliche Wert in der Parametrisierung steckt :). Hättest hier bspw aber auch die 2 nicht in die Parametrisierung stecken können und dann den Radius r von 0 bis 2 laufen lassen können. Ersteres ist aber üblicher und einfacher (letzteres wäre bei unserem Beispiel recht schwer, da abhängig).

Bleiben wir gerade mal am Kreis wegen den Grenzen. Da ists einfacher:

Wenn Du diesen kartesische beschreiben willst, so müsstest Du x^2+y^2 = 1 nach y auflösen um die Grenzen nach y zu beschreiben. y = ±√(1-x^2)

Damit hast Du Ober- und Untergrenze, wobei Du auch hier wieder (wie oben von mir schon getan) die Symmetrie nutzen kannst und die Untergrenze zu 0 wählen kannst, wenn Du das Integral ensprechend multiplizierst (je nach Wahl von x mit 2 oder 4).

Das x geht von -R bis R (oder eben von 0 bis R).

Das wäre in rein kartesischen Koordinaten, also (x,y).

Bei unserem Beispiel sind die Grenzen noch ein wenig komplizierter, aber das Verfahren das Gleiche :).

Alles klar?

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Ehrlich gesagt nicht, uns wurde für x²+y²=4 das so beigebracht, in polar x=2*cos(phi), y=2*sin(phi) mit den Grenzen 0<phi<2π und 0<r<2,,,

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Da musst Du dann was falsch aufgeschrieben haben?

Mit der von Dir gegebenen Parametrisierung hast Du folgendes Integral:

$$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \color{red}4\color{green}r\color{black} \;dr \;d\varphi = 4\pi$$

Dabei erhalten wir die 4 aus (2cos(x))^2 + (2sin(x))^2 = 4 und das r ist die Jacobi-Determinante.

Für den Fall einer einfachen Kreisparametrisierung -> x = cos(phi) und y = sin(phi) müssen wir den Radius in den Integralgrenzen berücksichtigen

$$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \color{green}r\color{black} \;dr \;d\varphi = 4\pi$$

Das r wieder wegen der Jacobi-Determinante

Dass das passt, können wir mit einfacher Geometriekenntnissen bestätigen. Ein Kreis mit dem Radius r = 2 hat den Flächeninhalt A = 4π :)

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Es tut mir leid, das ist hier bestimmt ganz schön nervig, aber ich möchte es halt nur verstehen :/

Bei uns würde das integral auch so aussehen ∫^2π₀  ∫²₀ r dr dφ mit den parametrisierungen die ich genannt habe bzw. so sehen auch die Lösungen bei uns aus...

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Wie gesagt, da muss dann was falsch abgeschrieben worden sein. Das Integral bei Deinem Fall wäre nicht mehr einfach r. Sondern 4r. Dann aber die Grenze von r nur bis 1 :).

Siehe den Unterschied in der vorigen Antwort.

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Hier ist  z.b. die Lösung einer Aufgabe die hochgeladen wurde. Parametrisiert wurde es mit r drinne und die Grenzen gehen von 0 bis a, wenn a z.b 5 ist, dann wäre es ja  0<r<5. Also wäre dieser Weg jetzt falsch? Oder kommt bei beiden Wegen das gleiche Ergebnis raus?

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Wie gesagt, das kommt immer darauf an über was man intergriert. Integrierst Du über 1 (bzw. r wegen der Funktionaldeterminante), dann passt das mit der Integration von 0 bis a. Wenn Du aber nicht über 1 integrierst, sondern (nur auf den Kreis bezogen) über r, dann braucht r nur von 0 bis 1 zu gehen. Sind zwei Herangehensweisen :). Siehe dazu nochmals meine Beispiele weiter oben ;).

Lass Dich am besten nicht verwirren. Schau Dir an, wie ihr an die Sache rangeht und folge diesem Pfad.