Präge dir mal ein
" Sere are sree possibilities; many ways lead to se Scheitel. "
Glrich Metode 1 stammt von mir; das heißt wenn du mit Klugheit aus dem Internet abschreibst, gibt das eine Eins für Interesse und Iniative. Ich nenne sie das " Fortschmeißverfahren " Sie besteht schlicht und ergreifend darin, dass du das Absolutglied deiner Parabel in den Papierkorb schmeißt. Und dann ermitteln wir die Nullstellen.
2 x ² + 5 x = ( 1a )
= x ( 2 x + 5 ) = 0 ( 1b )
X1 = ( - 5/2 ) ; X2 = 0 ( 1c )
( Ich habe absichtlich " groß X " gewählt, weil das ja nicht die Knoten der ursprünglichen Parabel sind. )
( Kennst du den Satz vom Nullprodukt? )
Was haben wir damit gewonnen? Bei dem Portal Ly cos ( das hier gar nicht gelitten ist, wo ich aber viel näher am Schüler arbeite ) merkte ich sofort: Alle Schüler wissen, dass der Scheitel symmetrisch ( aritm. Mittelwert ) zwischen X1 und X2 liegt ( Anschauung ! )
x0 = 1/2 ( X1 + X2 ) = ( - 5/4 ) ( 2 )
Ist das aber auch der Scheitel der Ausgangsparabel? Ja; denn x0 ändert sich ja nicht, wenn ich die Parabel drei einheiten nach Unten verschiebe.
Das zweite Verfahren setzt darauf, dass du in die Normalform überführst:
f ( x ) = x ² - p x + q ( 3a )
p = ( - 5/2 ) ; q = ( 3/2 ) ( 3b )
x0 = p / 2 ( 3c )
Wenn du also über die Normalform gehst, kannst du unmittelbar Formel ( 3c ) anwenden.
Größter Beliebtheit erfreut sich allerdings die ===> Differenzialrechnung der höheren Analysis. Der Standpunkt " Das haben wir noch nicht gehabt " ist zwar typisch für Schüler. Aber z.B. später mal im Beruf kommt es durchaus vor, dass dein Chef sagt, er hat da Literatur über ein ganz modernes Verfahren; dann kommt es darauf an, dich schnell einzuarbeiten, das Wesentliche vom Unwesentlichen zu trennen und schnell Lösungen zu produzieren.
Kein Lehrer wird Einwände erheben, wenn du in einer Klausur Konzeptzettel abgibst, wo du alle deine Ergebnisse gegen rechnest, indem du die ===> erste Ableitung der Parabel Null setzt:
f ( x ) = 2 x ² + 5 x + 3 ( 4a )
f ' ( x ) = 4 x + 5 = 0 ===> x0 = ( - 5/4 ) ( 4b )
du siehst: Wenn du nur die Formel kapierst, wie man diese Ableitung rechnet. Du gewinnst unheimlich an Schnelligkeit und Sicherheit. Oberstufenschüler machen das nebenbei bemerkt NUR so.
Jetzt fehlt uns aber noch y0 . Einfach x0 einsetzen in die Polynomgleichung; normal macht man das mit dem ===> Hornerschema . Hinter Onkel Horner steht das Prinzip der " Kettenrechnungen " , das selbst Schüler von Kl. 4 schon beherrschen, wenn sie sich gegenseitig Aufgaben stellen.
Wenn du es absolut net kapierst, rege mal im Unterricht an, dass ihr das lernt.
p2 ( f ) := a2 ( f ) = 2 ( 5a )
p1 ( f ; x0 ) := p2 x0 + a1 ( f ) = 2 * ( - 5/4 ) + 5 = 5/2 ( 5b )
p0 ( f ; x0 ) := p1 x0 + a0 ( f ) = 5/2 * ( - 5/4 ) + 3 = ( - 1/8 ) = y0 ( 5c )
Ich hab mir übrigens extra die Mühhe gemacht, bei Wolfram nachzusehen, damit ich dir auch nix Falsches erzähle.
dein wesentlicher Fehler, so weit ich es im Moment überblicke: Formelsammlungen sind Glücksache. Dein x0 hast du in die Normalparabel eingesetzt, statt in die Ausgangsgleichung. Wenn du es mit Verstand betreibst, sollte dich schon das Hornerschema intressieren.
Hast du übrigens eine Idea, wie die Probe aussehen könnte? Es gibt nämlich nicht nur den ScheitelPUNKT , sondern auch die ScheitelpunktsFORM . Sie lautet
f ( x ) = a2 ( x - x0 ) ² + y0 ( 6 )
a2 ist in unserem Falle gleich 2 ; die gefundenen x0 ; y0 setzest du ein. Dann die Klammer auflösen ( binomische Formel ! ) dann muss die Ausgangsparabel aus der Aufgabe wieder raus kommen.
