Nte Wurzel Grenzwert berechnen

Question

Hallo Liebe Mitglieder,
ich weiß gerade nicht warum in der folgenden Aufgabe der GRenzwert rauskommt

also:
nte wurzel aus (3^n-2) = 3  warum?
und nte wurzel aus (2n+1)=1   warum?

Answer 1

Hi,

lim_n->∞ ⁿ√(3^n-2) = lim_n->∞ ⁿ√(3^n) =lim_n->∞ 3^{n/n} = 3 ,

-> Für große n kannst du das -2 getrost ignorieren.

 

lim_n->∞ ⁿ√(2n+1) ist eigentlich ein Grundgrenzwert den man kennen darf, denke ich. Für das erste Mal, aber folgender Vorschlag:

Mit e-Funktion umschreiben:

 

lim_n->∞ exp(ln(2n+1)/n) -> l'Hospital -> lim_n->∞ exp(2/(1+2n)*1) = e^{1/∞} = e^0 = 1

Das orangene ist keine schöne Schreibweise und sollte man sich einfach denken. Zum Verständnis aber mal eingefügt.

 

Grüße

Answer 2

lim n-->∞

(3^n - 2)^{1/n}

= exp(1/n * ln(3^n - 2)) = exp(ln(3^n - 2) / n)  [exp ist die e-Funktion]

Wir wenden im Exponenten der e-Funktion die Regel von Hospital an.

= exp(3^n·LN(3)/(3^n - 2))

Wir wenden nochmals die Regel von Hospital an

= exp((3^n·ln(3)^2)/(3^n·ln(3)))

= exp(ln(3))

= 3

Answer 3

Also die n-te Wurzel ist nur ein anderer Ausdruck für (irgendetwas)^{1/n}.

Also bei (3ⁿ-2) bedeutet n-te Wurzel (3ⁿ-2)^{1/n}. Wenn du jetzt eine Tabelle mit links n und rechts den Wert für (3ⁿ-2)^{1/n}, kannst du erkennen das sich der Wert der reellen Zahl 3 immer mehr nähert, je größer n wird, das setzt jedoch einen Taschenrechner o.ä. Voraus.

Bei (2n+1) bedeutet n-te Wurzel (2n+1)^{1/n}. Wenn dur hier wieder eine Tabelle anlegst, diesmal für sehr große n, dann kannst du erkennen das sich der Wert der reellen Zahl 1 immer mehr nähert, je größer n wird.

Es gibt sicher auch noch eine Möglichkeit, das ohne Taschenrechner zu berechen, nur auf dem Papier, ich weiss allerdings nicht, wie das geht. Vielleicht kann dir da noch jemand anderes helfen.