integralrechnung x^{n-1}/(sqrt(a^2-x^2n)) dx

Question

Hallo leutz,

Ich habe bei folgendem Integral Probleme.

 x^{n-1}/(sqrt(a^2-x^2n)) dx  Grenzen von 0 bis sqrt(a/2)

Ich habe versucht die minus 1 vom Zähler in den Nenner zu ziehen und x^2n zu substituieren aber ich schaffe es nicht die x^{n-1} zu kürzen.

schon mal :)

Answer 1

 

= ∫  x^n-1/ √[ a² (1 - x²ⁿ/ a²) ]  dx  

=  ∫  x^n-1/ √[ a² (1 - x²ⁿ/ a²) ]  dx  =    ∫  x^n-1/ √[ a² (1 - x²ⁿ/ a²) ] 

=  ∫  x^n-1/ √[ a² (1 - ( xⁿ / |a| )²) ] dx = ∫  x^n-1/ ( |a| √[ (1 - ( xⁿ / |a| )²) ] 

substituiere  z = xⁿ / |a|  →  dz /dx = n · x^n-1 / |a| = x^n-1  →  dx = |a| · dz  / ( n · x^n-1) )

Einsetzen:

∫  x^n-1 / √(a² - u²) · dz/n =  ∫  x^n-1 / ( |a|·√(1 - z²) ) · |a| ·dz / (n · x^n-1) 

=  1/n · ∫  1 / √(1 - z²)  dz 

= 1/n · arcsin(z)     [ Grundintegral ]

= 1/n · arcsin( xⁿ / |a| ) + C

Grenzen einsetzen:

→  ₀∫^√(a/2)  x^n-1/ √(a²-x²ⁿ) dx   =  1/n · arcsin( [√(a/2)]ⁿ / a ) 

[ hier entfällt bei |a| der |...| , weil a wegen der Grenze √(a/2) nicht negativ sein kann. ]

Gruß Wolfgang