integralrechnung sqrt(x)/(sqrt(x)-1) dx

Question

Hallo leutz,

Komme bei folgendem Integral nicht weiter.

sqrt(x)/(sqrt(x)-1) dx Grenzen von 4 bis 9

Ich habe versucht zuerst den nenner zu substituieren kam ich auf 1/(2*sqrt(x)) jedoch half das auch nicht wirklich. Anschliessend habe ich versucht den nenner zu rationalisieren indem ich den Bruch mit sqrt(x) + 1 erweitert habe. Jetzt steht bei mir im Zähler x*sqrt(x) und im nenner x+1. Damit kam ich auch nicht wirklich weiter.
Vielleicht kann mir jemand zeigen wie man es zu lösen hat.

Answer 1

$$\int_4^9\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}dx=\int_4^9\frac{\sqrt{x}-1+1}{\sqrt{x}-1}dx=\int_4^9\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}dx+\int_4^9\frac{1}{\sqrt{x}-1}dx \\ =\int_4^9 dx+\int_4^9\frac{1}{\sqrt{x}-1}dx=(9-4)+\int_4^9 \frac{1}{\sqrt{x}-1}dx=5+\int_4^9 \frac{1}{\sqrt{x}-1}dx=(\star )$$

Um das Integral $$\int_4^9 \frac{1}{\sqrt{x}-1}dx$$ zu berechnen, setzen wir $$u=\sqrt{x}$$ dann haben wir

$$\int_2^3 \frac{1}{u-1}2udu=2\int_2^3 \frac{u}{u-1}du=2\int_2^3 \frac{u-1+1}{u-1}du \\ =2\int_2^3 \frac{u-1}{u-1}du+2\int_2^3 \frac{1}{u-1}du \\ =2\int_2^3 du+2\int_2^3 \frac{1}{u-1}du=2+2\ln (u-1)\mid_2^3=2+2\ln 2$$

Dann haben wir folgendes: $$(\star)=5+2+2\ln 2=7+2\ln 2$$

Answer 2

Eine weitere Möglichkeit wäre die Substutution

z= √x -1

Answer 3

 

hier  erhältst du eine Lösung eines Online-Integralrechners mit Rechenweg.

[ Vor allem für spätere Fälle gedacht :-) ]

Er erhält   das unbestimmte Integral   2·LN(√|x - 1|) + x + 2·√x + C

damit  ergibt sich  ₄∫⁹ ....   = 2·LN(2) + 7

Gruß Wolfgang