Folgen und Reihen Aufgabe

Question

Hallo ich hab Aufgabe:

Entscheiden Sie, fur welche  q ∈ R die Folge

a_n = (q ⁿ − 1 ) / (2 ⁿ + 2 ) 

konvergiert. Berechnen Sie den Grenzwert, sofern dieser existiert.

Möchte mir jemand dabei Helfen? 

Vielen Dank :)

Answer 1

a_n = (q ⁿ − 1 ) / (2 ⁿ + 2 ) =  q ⁿ  / (2 ⁿ + 2 )       -  1 / (2 ⁿ + 2 ) 

=  (q/2)^n /    (   1  +  2/(2^n ) )       -   1 / (2 ⁿ + 2 )     

blau konvergiert jedenfalls gegen 0.

rot konvergiert nur, wenn der Zähler konvergiert,

also jedenfalls  für    |  q/2 |   <  1    also  für    q aus }  -2  ;  2  [

Für |q| < 2 ist der Grenzwert 0 und für   q=2 hat der Zähler den GW 1,

also  hat  (q/2)^n /    (   1  +  2/(2^n ) )       -   1 / (2 ⁿ + 2 )       den GW 1 / ( 1 + 0 )  -  0  = 1

und für q= -2 konvergiert es nicht .

Answer 2

  Was ich immer predige . In so Fällen musst du immer durch die größte Basis kürzen; Fallunterscheidung. Übrigens; was dich intressieren dürfte. Mit dem abgeschlossenen Mathestudium - bei uns war das noch Diplom - hast du nur die besten Berufsaussichten. Weil alle Personalabteilungen nämlich wissen, dass du " Fallunterscheidung " gelernt hast. Ich weiß, dass vom ZDF und von meinem eigenen Boss.

    Fall 1)  q  <  2     Wir kürzen durch 2 ^ x

                                         ( q/2 ) ^  x  - 2 ^ ( - x )

      f  (  x  ;  q  )  =     ------------------------------------         ===>  0           (  1a  )

                                           1 + 2 ^ ( 1 - x )

      wir haben erreicht, dass hier nur e-Funktionen mit Basis kleiner Eins auftreten; der Zähler geht gegen Null und der Nenner gegen Eins.

    Fall 2)   2  <  q

                                            1  -  q ^ ( - x )

     f  (  x  ;  q  )  =   ----------------------------------------  ===>  (  +  °°   )    (   1b  )

                                    ( 2/q ) ^ x  +  2 q ^ ( - x )

      Jetzt geht der Zähler gegen Eins und der Nenner gegen Null .

     Fall 3 ) q = 2

     Wir substituieren

           u  :=  2  ^  x       (  2a  )

        f  (  x  )  =  f  (  u  )  =  (  u  -  1  )  /  (  u  +  2  )  ===>  1    (  2b  )