Question

Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe

 f(x) = ∑^∞_n=0 ((2 − x) ²ⁿ )/ (3²ⁿ⁺¹)

Entscheiden Sie, ob f(1) definiert ist. Wenn ja, berechnen Sie f(1). 

Answer 1

n -te wurzel aus | a _n | ist

w_n  =  |2-x|  /  (  3^2 *  n-te wurzel ( 3 )  )

Für n gegen unendlich geht      n-te wurzel ( 3 )  gegen 1 also ist der  Grenzwert

von w_n  =     |2-x| / 9   und damit konvergiert die Pot. reihe für     |2-x| / 9  < 1

  |2-x|   < 9 

Also Konvergenzradius  1/9  und Konvergenzintervall    ]  -7 ;  11 [.

Also 1 enthalten und dafür gibt es

 f(1) = ∑^∞_n=0 ((2 − 1) ²ⁿ )/ (3²ⁿ⁺¹)  =   ∑^∞_n=0   1/ (3²ⁿ⁺¹) 

=  1/3 * ∑^∞_n=0   (1/ 9 ) ^n 

Die Reihe ist eine geo. mit q= 1/9 also  Wert

= 1/3 *   1  / ( 1 - 1/9 )  =   1/3 *  9/8  =  3/8 .