Hier kommst du mit ganz schmutzigen Tricks zum Ziel:
f ( x ) := [ 2 ^ x + 3 ^ x + 5 ^ x ] ^ 1 / x ( 1a )
lim f ( x ) ( 1b )
x ===> ( °° )
In solchen Fällen hilft immer Logaritmieren:
g ( x ) := ln f ( x ) = ( 1/x ) ln [ 2 ^ x + 3 ^ x + 5 ^ x ] ( 2a )
Im Zähler von ( 2a ) steht der Logaritmus; und im Nenner steht x . Wir haben den unbestimmten Fall ( °° ) / ( °° ) ; und die Krankenhausregel ist anwendbar.
ln ( 2 ) 2 ^ x + ln ( 3 ) 3 ^ x + ln ( 5 ) 5 ^ x
lim g ( x ) = lim -------------------------------------------------------------------- ( 2b )
2 ^ x + 3 ^ x + 5 ^ x
Und ( 2b ) wird durchaus schon im elementarunterricht verlangt ; " Ich kapier Logaritmus nicht; wer kann helfen? " Ich schrieb, du kürzest immer durch die größte Basis aller drei auftretenden e-Funktionen. Und das ist 5
ln ( 2 ) ( 2/5 ) ^ x + ln ( 3 ) ( 3/5 ) ^ x + ln ( 5 )
lim g ( x ) = lim -------------------------------------------------------------------- = ln ( 5 ) ( 2c )
( 2/5 ) ^ x + ( 3/5 ) ^ x + 1
Mit diesem schmutzigen Trick erreichen wir nämlich, dass sämtliche auftretenden e-Funktionen gegen Null gehen, weil ja nach Konstruktion alle auftretenden Basen kleiner Eins bleiben. Und jetzt besinnen wir uns wieder auf die ursprüngliche Definition ( 2a ) Wenn also der LOGARITMUS der gesuchten Funktion gegen ln ( 5 ) geht, dann muss der Grenzwert von f ( x ) gleich 5 sein .
