Zur Vorwarnung, ich selbst bin bloss angehender ElektroIngenieur und kein Mathematiker, nimm also folglich nicht alles gleich für bare Münze.
Auch wenn die Aufgabenstellung einige Fragen offen lässt, lässt sich erahnen dass wohl die Bohrung hohl ist und die beiden Deckel entfallen, also lediglich die schwarz eingefärbten Gebiete massebehaftet sind.
Da die Bohrung zylindrisch ist würde ich Zylinderkoordinaten vorschlagen da mit Winkeln rechnen meist mühsamer wird.
zuerst bestimmen wir die Grenzen für z da wir ja z-einfach integrieren wollen, z läuft ja laut Abbildung von dem Kreise an, wo die Bohrung kleiner wird als der Kugeldurchmesser, bis hin zum zweiten Berühr"kreis"
da wir die beiden Gleichungen kennen: x^2 + y^2 + z^2 = R^2 // Achtung R ist Kugelradius und als konstant zu betrachten
und x^2 + y^2= a^2 können wir die beiden Grenzen durch Gleichsetzen erörtern, welche sich dann zu
z= +- sqrt(R^2-a^2) ergeben,
innen bleibt der Radius konstant a
Aussen variiert der Radius, wiederum kennen wir aber die beiden Gleichungen x^2 + y^2 + z^2 = R^2 und
x^2 + y^2 = r^2 // hier ist r eine Variable
wir wissen also wiederum durch gleichsetzen r=+- sqrt(R^2-z^2)
Da nun aber negative Radien physikalischer Mumpitz sind nehmen wir nur das positive Resultat
Unsere Grenzen ergeben sich nun, in angenehmer und übersichtlicher, jedoch mathematisch nicht korrekter Schreibweise, zu:
[0,2*pi] * [a,sqrt(R^2-z^2)] * [-sqrt(R^2-a^2),sqrt(R^2-a^2)]
Nichstdestoweniger ziemlich hässliche Grenzen, Viel Spass beim rechnen.
