Weshalb ist die Ableitung von Sinus gleich Kosinus?

Question

Ich verstehe noch nicht ganz, weshalb f(x)=sin(x) abgeleitet wird zu: f'(x)=cos(x).

Gibt es Möglichkeiten, das klar und deutlich und einfach zu erklären?


Mein Mathebuch ist da nicht sehr hilfreich. Im Tafelwerk steht auch nur die Formel :(((

Answer 1

Hi,

das versteht man sicherlich am besten, wenn man graphisch ableitet:

Das blaue sei f(x)=sin(x). Das rote sei der Kosinus.

Wenn wir nun an die Stelle x=0 gehen, sehen wir beim Sinus eine Steigung, die 1 ist. Bei der Ableitung muss als der Funktionswert 1 sein. Für cos(0) ist das der Fall -> cos(0)=1.

Wenn wir nun zum Hochpunkt von unserem Sinus wandern, wissen wir (da es ja ein Hochpunkt ist), dass die Ableitung (also die Steigung) 0 sein muss. Auch das erfüllt der Kosinus. Genau an der Stelle, wo der Sinus seinen Hochpunkt hat, hat der Cosinus seinen Nullpunkt.

Das kann man nun so weiter durchgehen und erkennt recht schnell, dass die Aussage f(x)=sin(x) und f'(x)=cos(x) passt ;).

 

Grüße

Answer 2

Man kann das ganze über den Differenzialquotient herleiten

f(x) = sin(x)

f'(x) = lim h→0 (f(x + h) - f(x)) / h

= lim h→0 (sin(x + h) - sin(x)) / h

Substitution x + h = a + b und x = a - b
a = x + h/2
b = h/2

= lim h→0 (sin(a + b) - sin(a - b)) / h

Wir benutzen die Additionstheoreme für den Sinus

= lim h→0 (sin(a)·cos(b) + cos(a)·sin(b) - (sin(a)·cos(b) - cos(a)·sin(b))) / h

= lim h→0 (2·cos(a)·sin(b)) / h

Resubstituieren

= lim h→0 (2·cos(x + h/2)·sin(h/2)) / h

= lim h→0 cos(x + h/2)·sin(h/2)) / (h/2)

Wir wissen, dass lim x→0 sin(x) / x = 1

= lim h→0 cos(x + h/2)·1

= cos(x)