Ableitung von Wurzel bestätigen mithilfe der Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion.

Question

ich habe eine aufgabe nicht ganz nachvollziehen können nämlich:

Bestätigen Sie das Ergebis (gemeint ist die ableitung von f(x)= √x)  mithilfe der formel für die ableitung der umkehfunktion.

lösung:

f '(x)= 1/ ( f' (x) + f^-1 (x) )

f(x) = x^2

f^-1 (x) = √x da f bijektiv ist. (was hat diese eingenschaft mit der aufgabe zutun?)

( √x ) ' =  1 / (2*√x )

wenn man das einsetzt wie f '(x)= 1/ ( f' (x) + f^-1 (x) ) komme ich auf 1/ ( 2x * √x )

könnte mir jemand sagen was ich falsch mache bzw. denke.

danke

Answer 1

Hallo Samira,

f ^-1: ℝ₀⁺ →  ℝ₀⁺ ;   f^-1(x) = √x  ist auch die Umkehrfunktion von  f : ℝ₀⁺ → ℝ₀⁺  ,  f (x) = x²

→ f ' (x) = 2x

(f^-1) ' (x)  = 1 / f ^'( f^-1 (x) )       [ richtige Formel für Ableitung der Umkehrfunktion # ]

[ √x ]  '  =  1 / [ 2 • ( √x ) ]       [ √x wird für x in f '(x) = 2x eingesetzt ]

-------------

#

> f '(x)= 1/ ( f' (x) + f^-1 (x) )    kann nicht stimmen:

Gegenbeispiel:

die Umkehrfunktion zu f(x) = x  ist f^-1(x) = x, jeweils mit der Ableitung 1

Es müsste also 1 = 1 / ( 1 + x)    gelten

-------------

> f^-1 (x) = √x da f bijektiv ist. (was hat diese Eigenschaft mit der Aufgabe zu tun?)

Wäre f : ℝ₀⁺ → ℝ₀⁺  ,  f (x) = x²  nicht bijektiv, dann gäbe es keine Umkehrfunktion

Gruß Wolfgang

Answer 2

x=(√x)^2 wieder beide Seiten ableiten

1=√x ' *2*√x

1/(2*√x)=√x '

Also das bereits bekannte Ergebnis.

Answer 3

" f^-1 (x) = √x da f bijektiv ist. (was hat diese eingenschaft mit der aufgabe zutun?) "

Bijektivität ist eine Voraussetzung dafür, dass eine Abbildung eine Umkehrfunktion hat.

Das kannst du aber an dieser Stelle eigentlich gar nicht wissen. Du musst Definitions- und Wertebereich angeben und, wenn nötig, geeignet einschränken.

g(x) = √x , R_(0)^{+} -> R_(0)^{+}

~plot~ sqrt(x) ; x=3; sqrt(3) ~plot~  

~plot~ sqrt(x) ; x=3; sqrt(3) ~plot~

~plot~ sqrt(x) ; x=3; sqrt(3);x^2 ~plot~

Comments

Du solltest sehen, dass g(x)= √x  jedem nichtnegativen x-Wert einen nichtnegativen y-Wert zuordnet.

Daher ist es kein Problem den y-Werten wieder ihren Ausgangswert (den x-Wert) zuzuordnen. Die Funktion ist also umkehrbar. Kennst du nun noch die Umkehrfunktion und deren Ableitung, kannst du sie nutzen um die Funktion g(x) abzuleiten. Illustriert auch hier https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

Schaue dann auch mal, was WolphramAlpha zeichnet. Allerdings NUR die blaue Kurve ansehen, der Rest ist nicht reell  https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%9Ax