Splinefunktion verletzte Eigenschaft beweisen

Question

eine Splinefunktion der Ordnung L zur Zerlegung Δ ist eine Funktion s : [a,b] →ℝ mit folgenden Eigenschaften

1.) es gilt s ∈ C^L-1 ([a,b]), s ist also stetig und L - 1 mal stetig differenzierbar

2.) s stimmt auf jedem Intervall [x_i,x_i+1] mit einem Polynom s_i vom Grad ≤ L überein.

Wie würde ich zeigen, dass die 2te Eigenschaft verletzt wird? 

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Als Beispiel :

https://www.mathelounge.de/358645/ist-s-eine-splinefunktion-der-ordnung-3-zur-zerlegung-0-1-5-3

Die Zerlegung wäre Δ = {x₀ = 0, x₁ = 1.5, x₂ = 3}.

Die Intervalle [0, 1.5] und [1.5, 3] sind gegeben. D.h s muss auf dem Intervall [0, 1.5] mit s₀ übereinstimmen, und auf [1.5, 3] mit s₁. Richtig interpretiert?

Darf man s(1.5) ≠ s₀(1.5) dann als Beweis verwenden?

Danke :)

Answer 1

Hi,

in dem Beispiel ist \( s(x) \) eine zweimal  stetig differenzierbare Funktion auf dem Intervall \( [ 0 , 1.5 ] \), ein Polynom dritten Grades ist aber unendlich oft stetig differenzierbar. Deshalb kann es auf dem Intervall kein Polynom dritten Grades geben, dass die Funktion \( s(x) \) darstellt.