Quadratische und kubische Polynome

Question

Aufgabe: 1. Zeigen Sie, dass jedes Polynom dritten Grades genau einen Wendepunkt hat.

2. Zeigen Sie, dass jedes Polynom zweiten Grades genau einen Extrempunkt hat.

3. Begründen Sie, dass jedes Polynom dritten Grades mindestens eine Nullstelle hat.

4. Kann eine Funktion dritten Grades keinen, einen oder zwei Extremstellen besitzen?

Problem/Ansatz:

1. Ich habe ax^3 + bx^2 + cx + d abgeleitet und dann f‘‘(x)=0 gesetzt, sodass ich dann x= -b/3a hatte. Es gibt ja nur eine Nullstlle, aber was sagt mir dies im Bezug zur Frage dann aus?...

2. Ich weiß nicht, wie ich das machen soll.

3. Es geht von - unedlich zu + unendlich, bzw. andersrum, deswegen muss es mind. eine Nullstelle haben, nicht wahr?

4. Eine Funktion n-ten Grades hat max. n Nullstellen und wenn man f(x) ableitet, sieht man dass das Polynom bei zwei liegt. Wie mach ich das aber jetzt mit keinem, bzw. einem Extrempunkt?

Answer 1

1. Zeigen Sie, dass jedes Polynom dritten Grades genau einen Wendepunkt hat.

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

f''(x) = 6·a·x + 2·b = 0 --> x = -b/(3·a) Nullstelle mit VZW und daher Wendepunkt

2. Zeigen Sie, dass jedes Polynom zweiten Grades genau einen Extrempunkt hat.

f(x) = a·x^2 + b·x + c

f'(x) = 2·a·x + b = 0 --> x = -b/(2·a) Nullstelle mit VZW und daher Extrempunkt

3. Begründen Sie, dass jedes Polynom dritten Grades mindestens eine Nullstelle hat.

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d = 0

Die Funktion verläuft vom II in den IV oder vom II in den I Quadraten, je nach Vorzeichen von a. Dabei muss der Graph mind einmal die x-Achse schneiden.

4. Kann eine Funktion dritten Grades keinen, einen oder zwei Extremstellen besitzen?

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

f'(x) = 3·a·x^2 + 2·b·x + c = 0

Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder Zwei Nullstellen haben.

Bei keiner Nullstelle hat f(x) keinen Extrempunkt.

Bei einer (doppelten) Nullstelle ohne VZW hat f(x) einen Sattelpunkt. Also auch keinen Extrempunkt.

Bei zwei Nullstellen mit VZW hat f(x) dann zwei Extrempunkte.