kubische Gleichung per Polynomdivision in quadratische Gleichung umwandeln

Question

Aufgabe:

x³-x²+5x-5=0

sowohl reelle als auch komplexe Lösungen sind gesucht

Problem/Ansatz:

Ich muss die funktion irgendwie in eine quadratische funktion umwandeln richtig?

Daher hab ich eine Nullstelle "eraten" für x=1

Jetzt muss ich eine Polynomdivision mit (x-1) durchführen richtig?

Jedoch versteh ich die Polynom division leider nicht richtig bei diesem Beispiel. weil mir x² weggfällt wennn ich die polynomdivision richtig verstanden hab.

Answer 1

weil mir x² weggfällt

Du kannst es behalten indem du 0x² verwendest, anstatt es vollständig wegfallen zu lassen.

Daher hab ich eine Nullstelle "eraten" für x=1

Falls dir das irgendwie unangenehm ist (die Anführungszeichen deuten darauf hin), dann verwende stattdessen die Formulierung "Ich habe mit dem Satz über rationale Nullstellen die Nullstelle x=1 gefunden." :-)

Der Satz gibt dir auch Hinweise, wie man raten soll. In deinem Fall kommen nur 1, -1, 5 und -5 in Frage.

Comments

Okee und wie würde ich dann mit 0x² quasi weiterrechnen?

und danke für den Hinweis so klingt das gleich viel professionäler :)

mfg

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 (x³ -x² + 5x -5) : (x-1) = x² + 0x + 5
-(x³ -x²)
-----------------
     0x² + 5x -5
   -(0x² - 0x)
   --------------
           5x -5
         -(5x -5)
         ---------
                0

Answer 2

Jetzt muss ich eine Polynomdivision mit (x-1) durchführen richtig? -<JA

dann Polynomdivision:

(x^3  - x^2  + 5x  - 5) : (x - 1)  =  x^2 + 5 
-(x^3  - x^2)          
—————————————————————
              5x  - 5
              5x  - 5
              ———————
                    0

usw.

x^2 +5=0

x_2.3= ± i √5

Comments

Wie genau bist du auf x²+5=0 gekommen weil wenn ich x³-x² mit x³-x² substrahiere bleibt ja 0 übrig lg

Danke

Answer 3

0 =
x^3-x^2+5*x-5 =
x^2*(x-1)+5*(x-1) =
(x^2+5)*(x-1) =
(x-i√(5))*(x+i√(5))*(x-1).

⇔

x = i√(5) oder x = -i√(5) oder x = 1.

(ohne Polynomdivision...)