Kubische Gleichung lösen: 0.0000381248x^3 - 0.003x^2 + 0.0448x - 0.0416

Question

Ich habe die Ableitung von F(x) = 9.5312E – 06 × x^4 – 0.001x^3 + 0.0224x^2 – 0.0416x +0.8669 gemacht und  würde gerne Y 0 werden lassen.  

Answer 1

Diese Nullstellen kannst Du nur auf numerischem Wege lösen (z.B. Newtonsche Näherungsverfahren)

Lösungen:

x_1≈0.99388

x_2≈18.568

x_3≈59.127

Answer 2

Mich stört  das "nur auf numerisch...", denn es gibt die exakten Cardanischen Formeln und die PQRST Formel (analog zur pq-Formel bei quadr. Gl.). (kein Schulstoff)

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

rechnet beide Wege teils mit 64 Stellen vor.

x1=x1=156250/5957-(25*(1-i*sqrt(3))*(48405016791+11914*i*sqrt(25945549572414))^{1/3})/(5957 3^{2/3})-(315431875*(1+i*sqrt(3)))/(5957*(3*(48405016791+11914*i*sqrt(25945549572414)))^{1/3})

=0.99388357536730378113917259264271889439823106...

x2 ...

x3...

mit i=sqrt(-1)

und sqrt(x) = x^{1/2}=Wurzel(x)

Comments

Mich stört das "nur auf numerisch...", denn es gibt die exakten Cardanischen Formeln

Bei der angegebenen Gleichung (bzw. bei dem Funktionsterm mit den vielen Dezimalstellen in den Koeffizienten) darf man bezweifeln, ob es wirklich um eine exakte Lösung gehen soll. Falls die Koeffizienten schon gerundet sind, ist die "Exaktheit" etwa der Cardanischen Formeln auch keine echte Hilfe.

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Natürlich will das kein Lehrer hören (weil es nicht im Lehrplan steht) und natürlich sind die Input-Parameter der Aufgabe scheinbar gerundet.

Es ging nur um die Aussage der Antwort "kannst Du nur auf numerischem Wege lösen"

und die ist falsch, da man bis Polynom Grad 4 exakt mit Wurzeln lösen kann!
Kein Mensch bezweifelt die Aussage bei den pq-Lösungsformeln & deshalb hatte es bereits verlinkt, dass es genau so eine Formel für Grad 3 gibt, wo man nur die Input-Parameter eingibt & das Ergebnis sofort ohne Umstellung oder Iterationen herausbekommt:

https://www.lamprechts.de/gerd/Bilder/QuadratischeGleichung_p-q-Formel_KubischeGleichung_PQRST-Formel.png