Wenn man weiß, dass es sich bei \(r=4(1+\sin(\theta))\) um eine Kardiode handelt, kann man aus der Gleichung aus Wiki, Vertauschen von \(x\) und \(y\) und Negieren von \(y\) folgende implizite Relation zaubern:$$(x^2+y^2)^2 -8y(x^2+y^2)-16x^2=0$$die formale Herleitung könnte so laufen:$$\begin{aligned} r & =4(1+\sin(\theta)) &&\left|\,-4\sin(\theta) \right. \\ r-4\sin(\theta) & =4 &&\left|\,^2 \right. \\ r^2-8r\sin(\theta) + 16 \sin^2(\theta) & =16 &&\left|\, \sin^2(\theta) = 1- \cos^2(\theta)\right. \\ r^2-8r\sin(\theta) + 16 - 16 \cos^2(\theta) & =16 &&\left|\,-16 \right. \\ r^2-8r\sin(\theta)- 16 \cos^2(\theta) & =0 &&\left|\, \cdot r^2\right. \\ r^4-8(\underbrace{r\sin(\theta)}_{=y})r^2- 16 (\underbrace{r\cos(\theta)}_{=x})^2 & =0 &&\left|\, r^2=x^2+y^2\right. \\ (x^2+y^2)^2-8y(x^2+y^2)- 16 x^2 & =0 \\ \end{aligned}$$
(zur Kardioide siehe auch dieser Beitrag)
Die Aufgabe 2.) ist doch einfach! \(r\) ist beliebig und \(\theta\) hat immer den gleichen Wert von \(\theta = \pi/4\) - also$$y=x$$oder auch formal:$$\begin{aligned} \theta &= \frac {\pi}4 && \left|\, \sin \right. \\ \sin(\theta) &= \sin\left( \frac{\pi}{4}\right) = \frac 12 \sqrt 2&& \left|\, \cdot r\right. \\ r \cdot \sin(\theta) &= \frac r2 \sqrt 2 && \left|\, ^2\right. \\ \left( r \cdot \sin (\theta)\right)^2 &= \frac 12 r^2 && \left|\, y= r\cdot \sin(\theta), \space r^2=x^2+y^2 \right.\\ y^2 &= \frac 12(x^2 +y^2) && \left|\,-\frac 12 y^2, \space \cdot 2, \space \sqrt{\space} \right. \\ y&=x\end{aligned}$$Gruß Werner
