Kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten umwandeln

Question

Aufgabe:

Wandle in Polarkoordinaten um.

B= (6,6 | -8,8)

Problem/Ansatz:

Ich habe berechnet r= wurzel 6,6 hoch 2  plus (-8,8) hoch 2, da kommt 11 raus, richtig.

Wenn ich aber den Winkel berechne möchte: tan-1 * (-8,8/6,6) kommt -53,13… raus. Laut der richtigen Lösung muss man 360- 53,13… rechnen aber wieso? Wann weiß ich ob ich + 180 rechnen soll bzw. Wann weiß ich wann ich von 180 oder 360 anziehen muss?

Answer 1

Hallo,

Deine Frage hat 2 Aspekte:

1. Die Umkehrfunktion für den \(\tan\) liefert nur den richtigen Wert für Winkel im Bereich \((-0.5 \pi,0.5\pi)\), d.h nur für diese Winkel gilt:

$$\tan(\phi)=x \iff \phi=\tan^{-1}(\phi)$$

2. Im Zusammenhang mit Polarkoordinaten sind die Winkel insofern zunächst nicht eindeutig bestimmt also cos und sin \(2\pi\)-periodisch sind. Oft legt man fest, dass der Winkel im Bereich \([0,2\pi)\) liegen soll.

Man kann das Ganz in Formeln fassen. Einfacher ist es, sich an einer Grafik zu orientieren: Der Punkt B in Deinem Beispiel liegt im 4. Quadranten, also muss der Winkel \(\phi\) für die Polarkoordinaten zwischen 270° und 360° - gezählt von der positiven x-Achse im Gegen-Uhrzeigersinn - liegen. Die Funktion \(\tan^{-1}\) liefert für Punkte im 4. Quadranten einen Winkel \(\psi\)  zwischen -90° und 0°  - gezählt von der positiven x-Achse. Deshalb die Korrektur: \(\phi=360°+\psi\)

Gruß Mathhilf

Answer 2

Entweder Du rechnest \( 270° + 36.87° \) oder \( 360° - (90°-36.87°) \)

Answer 3

Hallo,

in vielen Ländern und vom Taschenrechner werden Winkel von -180° bis +180° angegeben, bei uns ist das Intervall von 0° bis 360° üblich.

Dabei ist z.B. -30° das Gleiche wie 360°-30°=330°.

Wenn du den Winkel mit dem tan^(-1) berechnest, tritt ein weiteres Problem auf.

Wenn du z.B. den Punkt (1|1) und den Punkt (-1|-1) hast, gibt der tan^(-1) den gleichen Winkel 45° aus, der aber nur für (1|1) richtig ist. Da (-1|-1) im 3. Quadranten liegt, musst du 180° addieren → 225° .

:-)

Answer 4

Hier ist der Winkel: