Zeigen Sie, dass die Umkehrungen der Implikationen in a) und b) nicht richtig sind.

Question

Aufgabe:

Seien X, Y, Z Mengen und f : X →Y und g : Y →Z Abbildungen.

a) Zeigen Sie: Wenn g ◦ f : X →Z surjektiv ist, dann ist g surjektiv.
b) Zeigen Sie: Wenn g ◦ f : X →Z injektiv ist, dann ist f injektiv.

c) Die Umkehrung einer Implikation A ⇒ B ist die Implikation B ⇒ A. Zeigen
Sie, dass die Umkehrungen der Implikationen in a) und b) nicht richtig sind (d.h.
nicht für beliebige f, g gelten).

d) Welche Aussage über f und g ist möglich, wenn g ◦ f bijektiv ist?

e) Zeigen Sie: Wenn sowohl f als auch g injektiv (surjektiv) sind, so ist auch g ◦f in-
jektiv (surjektiv). Inbesondere ist also die Hintereinanderausführung von bijektiven
Abbildungen bijektiv.

Problem/Ansatz:

a) und b) hab ich gelöst, bei den anderen Teilaufgaben komme ich nicht weiter. Bei d) würde ich sagen das beide bijektiv sind, kann es aber nicht beweisen.

Könnte jemand helfen?

LG Blackwolf

Answer 1

Umkehrung von a) Gib Funktionen \(g\) und \(f\) und Mengen \(X\), \(Y\) und \(Z\) an, so dass \(g:Y\to Z\) surjektiv ist, aber \(g\circ f: X\to Z\) nicht surjektiv ist. Teilaufgabe e) sagt dir, welche Funktionen als Wahl für \(f\) nicht funktionieren werden.

wenn g ◦ f bijektiv ist?

Dann ist \(g\circ f\) auch surjektiv. Schau dir mal a) an.

Außerdem ist \(g\circ f\) auch injektiv. Schau dir mal b) an.