0 Daumen
1,6k Aufrufe

Hi,

ich möchte gerne ohne den TR eine Summe berechnen:

$$ \sum _{ i=1 }^{ 50 }{ ({ (-1) }^{ i }*{ i }^{ 2 }) }  $$

Kann mir jemand eine Erklärung liefern, wie das gemacht werden muss?

Besten dank!

Avatar von 3,1 k

Zeige z.B. per Induktion über \(n\), dass \(\sum\limits_{k=1}^n(-1)^k\cdot k^2=\frac12(-1)^n\cdot n\cdot(n+1)\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt. Setze dann \(n=50\).

Soll auch ohne Induktion gezeigt werden. Leider. Darum ist das glaube ich nicht so trivial

2 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

$$\quad\sum_{k=1}^{50}(-1)^kk^2=\sum_{k=1}^{25}\left((2k)^2-(2k-1)^2\right)$$$$=\sum_{k=1}^{25}(4k-1)=\sum_{k=1}^{25}\big(4(26-k)-1\big)=\sum_{k=1}^{25}(103-4k)$$$$\Leftrightarrow2\sum_{k=1}^{50}(-1)^kk^2=\sum_{k=1}^{25}(4k-1)+\sum_{k=1}^{25}(103-4k)=\sum_{k=1}^{25}102$$$$\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{50}(-1)^kk^2=\tfrac12\cdot25\cdot102=1275.$$Gruß

Avatar von

Gegenüber den anderen Lösungsvorschlägen ist dieser geradezu erfrischend. Der Anfang hätte allerdings auch noch naheliegender gewählt werden lönnen. Es handelt sich doch um die alternierende Summe der Quadratzahlen. Wenn man davon immer zwei aufeinanderfolgede Glieder zusammenfasst, erhält man die Summe von 1 bis 25 des Terms 4n-1-

0 Daumen

 

sortieren die Summanden um, um das (-1)^i weg zu bekommen: (S steht für deine Summe)

S= ∑i=0 bis 25 (2i)^2 -sum k=0 bis 24 (2k+1)^2

Betrachte die linke Teilsumme mit Obergrenze n:

die ersten 4 Partialsummen lauten:

0,n=0

4, n=1

20 , n=2

56, n=3

Aufgrund der Integralrechnung wissen wir, dass die explizite Summenformel ein Polynom 3.ten Grades sein muss.mit den 4 gegeben Partialsummen lässt sich dieses eindeutig bestimmen:

s1(n)= 4/3n^3 +2n^2+2/3n^2

(Induktion gänge auch, aber dann müsste man den Funktionsterm zuerst erraten.)

Das selbe macht man für die rechte Teilsumme.

Man erhält 

s2(n')=4/3n'^3+4n'^2+11/3n'+1

Es gilt nun S=s1(25)-s2(24)=22100-20825=1275

Avatar von 37 k

Interessant, aber wie kommst du auf Schritt 1:

Wäre nett, wenn du mir das genauer erklären könntest. danke!

0 bis 25 (2i)2 -sum k=0 bis 24 (2k+1)2

S=0-1+4-9+16-.......+50^2

=0^2+4+16+.....+50^2 -(1+9+25+....+(48+1)^2)

=∑i=0 bis 25 (2i)2 -sum k=0 bis 24 (2k+1)2

(links die Summe der geraden Quadratzahlen und rechts die Summe der ungeraden Quadratzahlen)

OK und auf 0 bis 24 komme ich, da 25 die "letzte" gerade zahl ist, die eine Stelle davor muss dann ungerade sein. Und ja 1 bis 50, 49 sind und folglich 25+24 49 sind

Ja genau  (^_^)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community