Ungleichung mit Bruch und Wurzel lösen

Question

mein Problem ist gerade, dass ich nicht auf die exakte Lösung der Ungleichung komme:

Für x=2 und x=-1 ist die Wurzel nicht definiert

$$ \sqrt { 1-\frac { x+2 }{ x^{ 2 } }  } \le \frac { 2 }{ 3 }  $$

Ich habe das Ganze quadriert und umgestellt:

$$ 1-\frac { x+2 }{ x^{ 2 } } \le \frac { 4 }{ 9 }  $$

$$ -x-2\quad \le -\frac { 5 }{ 9 } { x }^{ 2 } $$

$$ \frac { 5 }{ 9 } { x }^{ 2 }-x-2\le 0 $$

$$ { x }^{ 2 }-\frac { 5 }{ 9 } x-\frac { 18 }{ 5 } \le 0 $$

PQ Formel anwenden:

x1 = 2,19, x2=-1,63

Wolfram Aplha kommt hier aber auf eine Lösungsmenge von:

-6/5, -1

Worin liegt mein Fehler

Comments

Warum sollte die Wurzel für x=2 nicht definiert sein?

Answer 1

Ein Fehler liegt hier:

$$ \frac { 5 }{ 9 } { x }^{ 2 }-x-2\le 0 \\\,\\{ x }^{ 2 }-\frac { 5 }{ 9 } x-\frac { 18 }{ 5 } \le 0 $$

Comments

Allerdings: Brüche dividiert man, indem man mit dem Kehrwert mal nimmt.

Dementsprechend müsste -5/9 zu -9/5 werden

Answer 2

" Für x=2 und x=-1 ist die Wurzel nicht definiert " 

Wie kommst du darauf? 

Eine Wurzel ist nicht definiert, wenn der Radikand negativ ist. Das kann nicht nur an 2 Stellen der Fall sein. Untersuche zuerst sauber, für welche x unter der Wurzel ein negativer Wert stehet. 

Übrigens ist auch x= 0 sicher nicht erlaubt. 

Comments

Danke für die Verbesserung, ich meinte nicht nicht definiert sondern, für 2 und -1 ist die Wurzel 0 oder neagtiv